Latihan Akhir - Bagian II: Essay Pembuktian

Pembahasan: $AB=0⟹$ setiap kolom dari $B$ berada di $\text{Ker}(A)⟹\text{Im}(B)\subseteq \text{Ker}(A)$. Maka $\dim (\text{Im}(B))\le \dim (\text{Ker}(A))⟹\text{rank}(B)\le \text{null}(A)$. Berdasarkan Teorema Rank-Nolitas: $\text{rank}(A)+\text{null}(A)=n$. Substitusi $\text{null}(A)\ge \text{rank}(B)⟹\text{rank}(A)+\text{rank}(B)\le n$. $■$

Pembahasan: Misalkan $Av=\lambda v$ dengan $v\in {\mathbb{C}}^n$ tak nol. Tinjau $v^{\ast }Av$:

• $(v^{\ast }Av{)}^{\ast }=v^{\ast }{A}^{\ast }v=v^{\ast }{A}^{T}v=v^{\ast }Av⟹v^{\ast }Av\in \mathbb{R}$.
• Sisi lain $v^{\ast }Av=v^{\ast }(\lambda v)=\lambda (v^{\ast }v)=\lambda \Vert v{\Vert }^2$. Karena $\Vert v{\Vert }^2>0$ real, maka $\lambda =\frac{v^{\ast }Av}{\Vert v{\Vert }^2}\in \mathbb{R}$. Terbukti. $■$

Pembahasan:

• Untuk setiap $y\in \text{Im}(T)⟹y=T(x)$. Hitung $T(y)=T^2(x)=0⟹y\in \text{Ker}(T)$. Maka $\text{Im}(T)\subseteq \text{Ker}(T)$.
• Akibatnya $\text{rank}(T)\le \text{null}(T)$.
• Teorema Rank-Nolitas: $n=\text{rank}(T)+\text{null}(T)\ge 2\text{rank}(T)⟹\text{rank}(T)\le n/2$. $■$

Pembahasan: Misalkan $B=P^{-1}AP$ dan $m_A(x)$ adalah polinomial minimal $A$. Hitung $m_A(B)=m_A(P^{-1}AP)=P^{-1}{m}_A(A)P=P^{-1}0P=0$. Maka polinomial minimal $B$ membagi $m_A(x)$. Dengan argumen simetris ($A=PB{P}^{-1}$), $m_B(x)$ membagi $m_A(x)$. Maka $m_A(x)=m_B(x)$. $■$

Pembahasan: Nyatakan $v={\sum }_{i=1}^n{c}_i{e}_i$ dengan $c_i=⟨v,e_i⟩$. Hitung $\Vert v{\Vert }^2=⟨\sum c_i{e}_i,\sum c_j{e}_j⟩={\sum }_{i,j}{c}_i\overline{c_j}⟨e_i,e_j⟩$. Karena $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}⟹\Vert v{\Vert }^2={\sum }_{i=1}^n{c}_i\overline{c_i}={\sum }_{i=1}^n|c_i{|}^2={\sum }_{i=1}^n|⟨v,e_i⟩{|}^2$. $■$

Pembahasan: Polinomial pembatal $p(x)=x^k-1$ memiliki $k$ akar kompleks berbeda ${\zeta }_j=e^{2\pi ij/k}$. Karena $p(A)=0$, polinomial minimal $m_A(x)$ membagi $x^k-1$, sehingga $m_A(x)$ juga tidak memiliki akar ganda (faktor linear berbeda). Matriks dengan polinomial minimal ber-faktor linear berbeda pasti dapat didiagonalisasi atas $\mathbb{C}$. $■$

Pembahasan:

• Misalkan $D(p)=\lambda p⟹p^{\prime }(x)=\lambda p(x)$. Jika $\lambda \ne 0$, derajat $p^{\prime }$ adalah $\text{deg}(p)-1\ne \text{deg}(p)$, kontradiksi. Maka satu-satunya nilai eigen adalah $\lambda =0$.
• Ruang eigen $E_0=\text{Ker}(D)=\{a_0\}$ (polinomial konstanta, $\dim =1$). Karena $g_0=1<n+1=\dim (P_n(\mathbb{R}))$, operator $D$ tidak dapat didiagonalisasi. $■$

Pembahasan: $⟨u,x⟩-⟨v,x⟩=0⟹⟨u-v,x⟩=0$ untuk semua $x\in V$. Pilih $x=u-v⟹⟨u-v,u-v⟩=0⟹\Vert u-v{\Vert }^2=0⟹u-v=0⟹u=v$. $■$

Pembahasan: Karena $\text{rank}(A)=1⟹\text{null}(A)=n-1⟹\lambda =0$ adalah nilai eigen dengan multiplisitas geometris $g_0=n-1$. Nilai eigen ke-$n$ adalah ${\lambda }_n=\text{tr}(A)$.

• Jika $\text{tr}(A)\ne 0$, terdapat $n$ nilai eigen terpisah ($\lambda =0$ dengan $g_0=n-1$ dan $\lambda =\text{tr}(A)\ne 0$ dengan $g_{\text{tr}}=1$), maka total dimensi $=n⟹A$ dapat didiagonalisasi.
• Jika $\text{tr}(A)=0$, $m_0=n$ tetapi $g_0=n-1<n⟹A$ tidak dapat didiagonalisasi. $■$

Pembahasan: Karena $A$ nilpoten, seluruh nilai eigen $A$ bernilai $0$. Maka polinom karakteristik $A$ adalah $p(\lambda )=\det (A-\lambda I)=(-1{)}^n{\lambda }^n$. Berdasarkan Teorema Cayley-Hamilton: $p(A)=(-1{)}^n{A}^n=0⟹A^n=0$. $■$