Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat

Pembahasan: $\det (2A^{-1})=2^3\cdot \det (A^{-1})=8\cdot \frac{1}{\det (A)}=\frac{8}{5}$. $■$

Pembahasan: Perhatikan $(1,0,1,1)-(0,1,1,1)=(1,-1,0,0)$. Vektor ketiga merupakan kombinasi linear dari dua vektor pertama. Dua vektor pertama bebas linear, maka dimensinya adalah 2. $■$

Pembahasan: $T(1,0)=(0,1)$ dan $T(0,1)=(-1,0)$. Matriks representasi: $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$. $■$

Pembahasan: Berdasarkan Teorema Rank-Nolitas, $\text{null}(A)=n-\text{rank}(A)=5-3=2$. Sistem memiliki tak hingga banyak solusi dengan 2 variabel bebas. $■$

Pembahasan: Nilai eigen dari $A^3-2I$ adalah $2^3-2=8-2=6$. $■$

Pembahasan: $\text{tr}(P)=\text{rank}(P)=\dim (\text{bidang})=2$. $■$

Pembahasan: $⟨u,v⟩=(1)(2)+(2)(1)+(2)(-2)=2+2-4=0$. $■$

Pembahasan: $\det (I-\lambda I)=\det ((1-\lambda )I)=(1-\lambda {)}^n$ atau $(1-\lambda {)}^n$. $■$

Pembahasan: $d(u,v)=\Vert u-v\Vert =\sqrt{(1-4{)}^2+(1-5{)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$. $■$

Pembahasan: Matriks yang serupa memiliki determinan yang sama $⟹\det (B)=\det (A)=10$. $■$

Pembahasan: Jika $A^k=0⟹{\lambda }^k=0⟹\lambda =0$. $■$

Pembahasan: Berdasarkan Teorema Pythagoras: $\Vert v_1+v_2+v_3{\Vert }^2=\Vert v_1{\Vert }^2+\Vert v_2{\Vert }^2+\Vert v_3{\Vert }^2=1+1+1=3⟹\Vert v_1+v_2+v_3\Vert =\sqrt{3}$. $■$

Pembahasan: $\{0{\}}^{\perp }=V$ (seluruh ruang vektor $V$). $■$

Pembahasan: $\text{rank}(A)=n$ (rank penuh). $■$

Pembahasan: Berdasarkan Cayley-Hamilton: $A^2-3A+2I=0⟹A^2-3A=-2I$. $■$

Pembahasan: Berdasarkan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz: $|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert =3\times 4=12$. $■$

Pembahasan: Baris 2 adalah kelipatan dari baris 1. Basisnya adalah $\{(1,2)\}$. $■$

Pembahasan: Transformasi nol ($T(v)=0$ untuk semua $v\in V$). $■$

Pembahasan: $g_0=\text{null}(A)=n-r$. Karena $m_0\ge g_0$, maka minimal $n-r$. $■$

Pembahasan: Vektor ortogonal berbentuk $k(4,3)$. Panjang $\sqrt{16k^2+9k^2}=5|k|=1⟹k=\pm 1/5$. Vektor satuannya adalah $\pm (4/5,3/5)$. $■$