Sistem Persamaan Linear dan Matriks Invers

Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat direpresentasikan secara ringkas dalam bentuk persamaan matriks $A x = b$ . Penyelesaian dari sistem ini berkaitan erat dengan struktur matriks $A$ , terutama kemampuan matriks tersebut untuk dibalik.

1. Operasi Baris Elementer (OBE) dan Bentuk Eselon

Terdapat tiga jenis Operasi Baris Elementer (OBE) yang mempertahankan himpunan penyelesaian SPL:

Menukarkan dua baris.
Mengalikan satu baris dengan skalar non-nol.
Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya.

Melalui OBE, matriks augmented $[A ∣ b]$ diubah menjadi Bentuk Eselon Baris Tereduksi (Reduced Row Echelon Form/RREF).

2. Matriks Invers

Definisi (Matriks Invers)

Matriks persegi $A$ berukuran $n \times n$ dikatakan invertibel jika terdapat matriks $B$ sedemikian sehingga $A B = B A = I$ . Matriks $B$ ditulis sebagai $A^{- 1}$ .

Proposisi (Sifat-Sifat Matriks Invers)

Invers $A^{- 1}$ bersifat tunggal.
$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ .
$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ .
Jika $A$ invertibel, maka persamaan $A x = b$ memiliki solusi tunggal $x = A^{- 1} b$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Invers Perkalian Dua Matriks AB)

Misalkan $A$ dan $B$ adalah matriks persegi sehingga $A B$ invertibel. Buktikan bahwa $A$ dan $B$ juga masing-masing harus invertibel.

Latihan Soal Section 1.2

✏️ Latihan Soal 1 (Solusi Tunggal SPL dengan Parameter k)

Tentukan semua nilai $k$ agar sistem persamaan berikut memiliki solusi tunggal:

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + k z = 1 x + k y + z = 1 k x + y + z = 1$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Hitung determinan matriks koefisien:

$det (A) = 11 k 1 k 1 k 11 = - (k - 1)^{2} (k + 2)$

SPL memiliki solusi tunggal jika $det (A) \neq = 0 ⟹ k \neq = 1$ dan $k \neq = - 2$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Invers dari Persamaan A^2 - 3A + I = 0)

Buktkan bahwa jika $A$ memenuhi $A^{2} - 3 A + I = 0$ , maka $A$ invertibel dan nyatakan $A^{- 1}$ dalam $A$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Isolasi $I$ : $3 A - A^{2} = I ⟹ A (3 I - A) = I$ . Berdasarkan definisi invers, $A$ invertibel dengan $A^{- 1} = 3 I - A$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Persamaan A + B = AB Mengimplikasikan AB = BA)

Misalkan $A, B \in M_{n \times n} (R)$ . Jika $A + B = A B$ , buktikan bahwa $A B = B A$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Tinjau ekspansi $(I - A) (I - B) = I - A - B + A B$ . Karena $A + B = A B ⟹ A B - A - B = 0$ , maka $(I - A) (I - B) = I$ . Karena invers dua sisi berlaku untuk matriks persegi: $(I - B) (I - A) = I$ . Ekspansi: $I - B - A + B A = I ⟹ B A = A + B = A B$ . Terbukti $A B = B A$ . $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Invers Matriks (I - A) untuk Matriks Nilpoten)

Buktikan bahwa jika $A$ adalah matriks nilpoten ( $A^{k} = 0$ ), maka matriks $(I - A)$ invertibel.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gunakan rumus deret geometris terhingga:

$(I - A) (I + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}) = I - A^{k} = I - 0 = I$

Maka $(I - A)^{- 1} = I + A + A^{2} + \dots + A^{k - 1}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Operasi Matriks dan Sifat Aljabar Matriks
Sub-Topik Selanjutnya: Determinan dan Matriks Blok →

Sistem Persamaan Linear dan Matriks Invers

1. Operasi Baris Elementer (OBE) dan Bentuk Eselon

2. Matriks Invers

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 1.2

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Determinan dan Matriks Blok

Operasi Matriks dan Sifat Aljabar Matriks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title