Latihan Akhir - Bagian II: Essay Pembuktian

Pembahasan: Misalkan $|f(z){|}^2=u^2+v^2=c$.

• Jika $c=0⟹f(z)=0$ (konstan).
• Jika $c>0$, turunkan $u^2+v^2=c$ terhadap $x$ dan $y$:
  1. $u{u}_x+v{v}_x=0$
  2. $u{u}_y+v{v}_y=0$ Gunakan Persamaan Cauchy-Riemann ($v_x=-u_y,v_y=u_x$):
  3. $u{u}_x-v{u}_y=0$
  4. $u{u}_y+v{u}_x=0$ Kalikan (1) dengan $u$ dan (2) dengan $v$, lalu jumlahkan: $(u^2+v^2)u_x=0⟹c{u}_x=0⟹u_x=0$. Dengan cara serupa $u_y=v_x=v_y=0$. Karena seluruh turunan parsial nol, maka $f(z)$ konstan. $■$

Pembahasan: Fungsi genap: ${\int }_0^{\infty }f(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$. Pilih kontur setengah lingkaran atas radius $R$: $z_1=i$ dan $z_2=2i$ berada di setengah bidang atas.

• $\text{Res}(f,i)={\lim }_{z\to i}(z-i)\frac{z^2}{(z-i)(z+i)(z^2+4)}=\frac{-1}{(2i)(3)}=\frac{i}{6}$.
• $\text{Res}(f,2i)={\lim }_{z\to 2i}(z-2i)\frac{z^2}{(z^2+1)(z-2i)(z+2i)}=\frac{-4}{(-3)(4i)}=-\frac{i}{3}$. ${\int }_{-\infty }^{\infty }=2\pi i\left(\frac{i}{6}-\frac{i}{3}\right)=2\pi i\left(-\frac{i}{6}\right)=\frac{\pi }{3}$. Integral real $=\frac{1}{2}\times \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$. $■$

Pembahasan:

1. Ekspansi Maclaurin $e^z-1=z+\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6}+\cdots =z\left(1+\frac{z}{2}+\frac{z^2}{6}+\dots \right)$. $\frac{1}{e^z-1}=\frac{1}{z}\left(1-\frac{z}{2}+\frac{z^2}{12}-\dots \right)=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+\frac{z}{12}-\dots$ Maka $f(z)=\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+\frac{z}{12}-\dots \right)-\frac{1}{z}=-\frac{1}{2}+\frac{z}{12}-\dots$ Karena tidak memuat suku pangkat negatif dari $z$, $z=0$ adalah singularitas terhapuskan.
2. Agar analitik di $z=0$, definisikan $f(0)={\lim }_{z\to 0}f(z)=-\frac{1}{2}$. $■$

Pembahasan: Berdasarkan Prinsip Modulus Maksimum, jika modulus dari fungsi analitik $f$ mencapai nilai maksimum lokal di titik interior $z_0$ pada domain terhubung, maka fungsi $f(z)$ haruslah merupakan fungsi konstan. $■$

Pembahasan: $z=1+iy⟹w=\frac{1}{1+iy}=\frac{1-iy}{1+y^2}⟹u=\frac{1}{1+y^2},v=\frac{-y}{1+y^2}$. Hitung $u^2+v^2=\frac{1+y^2}{(1+y^2{)}^2}=\frac{1}{1+y^2}=u$. Persamaan $u^2-u+v^2=0⟹{\left(u-\frac{1}{2}\right)}^2+v^2=\frac{1}{4}$. Bayangannya adalah lingkaran dengan pusat $(1/2,0)$ dan jari-jari $1/2$ (kecuali origin). $■$

Pembahasan: Pusat lingkaran luar (circumcenter) adalah origin $0$. Titik berat (centroid) adalah $\frac{z_1+z_2+z_3}{3}$. Dalam geometri bidang, segitiga yang pusat lingkaran luarnya berimpit dengan titik beratnya jika dan hanya jika segitiga tersebut sama sisi. Maka $z_1+z_2+z_3=0⟺$ segitiga sama sisi. $■$

Pembahasan: Titik-titik barisan $z_n=1/n$ memiliki titik akumulasi $z=0\in D$. Berdasarkan Teorema Ketunggalan / Identitas analisis kompleks, jika dua fungsi analitik identik pada himpunan titik yang memiliki titik limit di dalam domain $D$, maka keduanya identik pada seluruh domain $D$. Maka $f(z)=g(z)$ untuk seluruh $z\in D$. $■$

Pembahasan:

1. Pada $|z|=2$: Pilih $f(z)=z^5$ ($|f|=32$) dan $g(z)=15z+1$ ($|g|\le 31$). Karena $|g|<|f|$ ($31<32$), seluruh 5 akar berada di dalam $|z|<2$.
2. Pada $|z|=3/2$: Pilih $f(z)=15z$ ($|f|=22.5$) dan $g(z)=z^5+1$ ($|g|\le 7.59+1=8.59$). Karena $|g|<|f|$, $15z$ memiliki 1 akar di $z=0⟹$ tepat 1 akar di dalam $|z|<3/2$. $■$

Pembahasan: Konstruksikan harmonik konjugat $v(x,y)$ sehingga $f(z)=u+iv$ entire. Definisikan $g(z)=e^{f(z)}⟹|g(z)|=e^{u(x,y)}\le e^M$. Karena $g(z)$ adalah fungsi entire dan terbatas pada $\mathbb{C}$, berdasarkan Teorema Liouville $g(z)$ konstan $⟹u(x,y)$ konstan. $■$

Pembahasan: Persamaan umum lingkaran/garis di bidang-$z$: $A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0⟺Az\bar{z}+\frac{B-iC}{2}z+\frac{B+iC}{2}\bar{z}+D=0$. Substitusi $z=1/w$: $A\frac{1}{w\bar{w}}+\alpha \frac{1}{w}+\bar{\alpha }\frac{1}{\bar{w}}+D=0$. Kalikan dengan $w\bar{w}$: $A+\alpha \bar{w}+\bar{\alpha }w+Dw\bar{w}=0⟺D(u^2+v^2)+Bu-Cv+A=0$. Karena lingkaran tidak melalui origin $⟹D\ne 0$ dan $A\ne 0$. Persamaan di bidang-$w$ adalah lingkaran yang tidak melalui origin. $■$