Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat

Pembahasan: $\frac{1+i}{\sqrt{2}}=e^{i\pi /4}$. $(e^{i\pi /4}{)}^{2026}=e^{i2026\pi /4}=e^{i506.5\pi }=e^{i(506\pi +\pi /2)}=e^{i\pi /2}=i$. $■$

Pembahasan: Jabarkan $u-v=x^3+3x^{2}y-3x{y}^2-y^3$. Karena $f^{\prime }(z)=u_x+i{v}_x=u_x-i{u}_y$, melalui Cauchy-Riemann diperoleh $f^{\prime }(i)=3i$. $■$

Pembahasan: Seluruh 4 akar $z^4=1$ ($\pm 1,\pm i$) berada di dalam $|z|=2$. Gunakan Teorema Residu: $\text{Res}\left(\frac{z^3}{z^4-1},z_k\right)=\frac{z_k^3}{4z_k^3}=\frac{1}{4}$. $\oint =2\pi i\times 4\times \frac{1}{4}=2\pi i$. $■$

Pembahasan: $\mathrm{limsup}|a_n{|}^{1/n}=1/2⟹\mathrm{limsup}|a_n^2{|}^{1/n}=1/4⟹R^{\prime }=4$. $■$

Pembahasan: Pilih $f(z)=3z^2$ ($|f|=3$) dan $g(z)=z^4+z+1$ ($|g|\le 3$). Gunakan Rouché pada $|z|=1-ϵ$: $f(z)$ memiliki 2 akar di $z=0⟹2$ akar. $■$

Pembahasan: $(z+1{)}^3+1=0⟹(z+1{)}^3=-1$. Akar-akar $z_k+1=e^{i(\pi +2k\pi )/3}⟹z_1=-2,z_2=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},z_3=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$. Modulus kuadrat: $|-2{|}^2+1^2+1^2=4+1+1=6$. $■$

Pembahasan: Karena $z_1+z_2+z_3=0⟹z_1+z_2=-z_3$. $|-z_3{|}^2+|-z_1{|}^2+|-z_2{|}^2=1+1+1=3$. $■$

Pembahasan: Titik singular di $z=0$. Ekspansi $\frac{\sin z}{\sinh z}=\frac{z-z^3/6+\dots }{z+z^3/6+\dots }=1-\frac{z^2}{3}+\dots$ Fungsi yang diintegralkan: $\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3}+\dots$ Koefisien $1/z$ adalah $b_1=0$. Maka $\oint =2\pi i(0)=0$. $■$

Pembahasan: Singularitas terdekat ke origin adalah akar dari $1-z-z^2=0$, yaitu $z=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{\varphi }=\varphi -1\approx 0.618$. Jari-jari konvergensi $R=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. $■$

Pembahasan: Gunakan identitas $\frac{z^n-1}{z-1}={\prod }_{k=1}^{n-1}(z-w^k)=z^{n-1}+\cdots +1$. Substitusi $z=1⟹{\prod }_{k=1}^{n-1}(1-w^k)=n$. Ambil modulus: ${\prod }_{k=1}^{n-1}|1-w^k|=n$. $■$

Pembahasan: Gunakan kontur setengah lingkaran dengan dentik di origin: ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x(x^2+1)}dx=\frac{\pi }{2}(1-e^{-1})$. $■$

Pembahasan: $f(z)=c\sin z$ untuk suatu skalar $c\in \mathbb{C}$ dengan $|c|\le 1$. $■$

Pembahasan: $\frac{3z+i}{z-i}=z⟹z^2-iz=3z+i⟹z^2-(3+i)z-i=0$. Diskriminan $(3+i{)}^2+4i=9+6i-1+4i=8+10i\ne 0$. Ada 2 titik tetap berbeda. $■$

Pembahasan: $(x-1{)}^2+y^2=4((x+1{)}^2+y^2)⟹3x^2+10x+3+3y^2=0⟹x^2+\frac{10}{3}x+y^2=-1$. $(x+5/3{)}^2+y^2=25/9-1=16/9$. Pusat: $(-5/3,0)$, Jari-jari: $4/3$. $■$

Pembahasan: Luas $={\iint }_{|z|\le 1}|f^{\prime }(z){|}^{2}dxdy={\iint }_{|z|\le 1}|2z+1{|}^{2}dxdy={\iint }_{|z|\le 1}(4|z{|}^2+4\text{Re}(z)+1)rdrd\theta$. $=2\pi {\int }_0^1(4r^3+r)dr=2\pi (1+1/2)=3\pi$. $■$