Formulasi PIE untuk n Himpunan

Jika himpunan-himpunan memiliki irisan, maka menjumlahkan ukuran masing-masing himpunan akan menghitung elemen irisan secara berlebih. Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE) memberikan formula umum untuk menghitung gabungan $n$ himpunan.

1. Kasus Dua dan Tiga Himpunan

Untuk dua himpunan $A$ dan $B$ :

$∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$

Untuk tiga himpunan $A, B,$ dan $C$ :

$∣ A \cup B \cup C ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ + ∣ C ∣ - (∣ A \cap B ∣ + ∣ A \cap C ∣ + ∣ B \cap C ∣) + ∣ A \cap B \cap C ∣$

2. Bentuk Umum PIE untuk $n$ Himpunan

Teorema (Prinsip Inklusi-Eksklusi (PIE))

Secara umum, untuk himpunan-himpunan berhingga $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ , banyaknya elemen pada gabungan mereka adalah:

$∣ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} ∣ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ A_{i} ∣ - \sum_{1 \leq i < j \leq n} ∣ A_{i} \cap A_{j} ∣ + \dots + (- 1)^{n - 1} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n} ∣$

Dalam notasi ringkas:

$∣ ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} ∣ = \sum_{\emptyset \neq = S \subseteq {1, \dots, n}} (- 1)^{∣ S ∣ - 1} ⋂_{i \in S} A_{i}$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Kelipatan 3, 5, atau 7)

Berapa banyak bilangan bulat antara 1 sampai 100 (inklusif) yang habis dibagi 3, 5, atau 7?

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Bilangan Tidak Habis Dibagi 2, 3, atau 5)

Berapa banyak bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang tidak habis dibagi 2, 3, maupun 5?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Total $N = 1000$ .
$∣ A_{2} ∣ = 500, ∣ A_{3} ∣ = 333, ∣ A_{5} ∣ = 200$ .
$∣ A_{2} \cap A_{3} ∣ = 166, ∣ A_{2} \cap A_{5} ∣ = 100, ∣ A_{3} \cap A_{5} ∣ = 66$ .
$∣ A_{2} \cap A_{3} \cap A_{5} ∣ = 33$ . Habis dibagi salah satunya: $(500 + 333 + 200) - (166 + 100 + 66) + 33 = 734$ . Tidak habis dibagi ketiganya: $1000 - 734 = 266$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Argumen Paritas dan Pewarnaan Papan Catur
Sub-Topik Selanjutnya: Derangement dan Fungsi Onto →

1. Kasus Dua dan Tiga Himpunan

2. Bentuk Umum PIE untuk $n$ Himpunan

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Argumen Paritas dan Pewarnaan Papan Catur

Aplikasi PIE: Derangement dan Fungsi Onto

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title