Fungsi Pembangkit Eksponensial (Exponential GF)

Jika fungsi pembangkit biasa digunakan untuk masalah pemilihan (kombinasi), maka fungsi pembangkit eksponensial digunakan untuk masalah penyusunan (permutasi).

1. Definisi EGF

Definisi (Fungsi Pembangkit Eksponensial (EGF))

Fungsi pembangkit eksponensial dari barisan $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ didefinisikan sebagai:

$\hat{A} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{x ^{n}}{n !} = a_{0} + a_{1} \frac{x}{1 !} + a_{2} \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots$

2. Deret Eksponensial Penting

Bebas: $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$
Jumlah Genap: $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$
Jumlah Ganjil: $\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Pewarnaan Barisan Panjang n)

Tentukan banyaknya cara menyusun barisan panjang $n$ menggunakan warna Merah, Putih, dan Biru sedemikian sehingga warna Merah muncul dalam jumlah genap.

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (String Tiga Angka (0 Genap, 1 Minimal 1))

Gunakan EGF untuk menentukan banyaknya cara menyusun barisan panjang $n$ dari angka ${0, 1, 2}$ sedemikian sehingga angka 0 muncul dalam jumlah genap dan angka 1 muncul setidaknya 1 kali.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Angka 0: $\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$
Angka 1: $e^{x} - 1$
Angka 2: $e^{x}$

EGF: $\hat{A} (x) = \frac{1}{2} (e^{2 x} + 1) (e^{x} - 1) = \frac{e ^{3 x} - e ^{2 x} + e ^{x} - 1}{2}$ . Maka koefisien $\frac{x ^{n}}{n !}$ adalah $a_{n} = \frac{3 ^{n} - 2 ^{n} + 1}{2}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Fungsi Pembangkit Biasa
Sub-Topik Selanjutnya: Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat →

Fungsi Pembangkit Eksponensial (Exponential GF)

1. Definisi EGF

2. Deret Eksponensial Penting

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Fungsi Pembangkit Biasa (Ordinary GF)

Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat

Diskusi & Tanya Jawab

Title