Rekurensi Linier Homogen dan Persamaan Karakteristik

Sebuah relasi rekurensi linier homogen berorde $k$ memiliki bentuk umum:

$a_{n} = c_{1} a_{n - 1} + c_{2} a_{n - 2} + \dots + c_{k} a_{n - k}$

di mana $c_{i}$ adalah konstanta dan $c_{k} \neq = 0$ . Untuk menyelesaikan relasi ini, kita mencari solusi berbentuk $a_{n} = r^{n}$ .

1. Persamaan Karakteristik

Substitusi $a_{n} = r^{n}$ ke dalam relasi rekurensi menghasilkan persamaan karakteristik:

$r^{k} - c_{1} r^{k - 1} - c_{2} r^{k - 2} - \dots - c_{k} = 0$

2. Solusi Umum Orde 2

Teorema (Kasus Akar Berbeda)

Jika persamaan karakteristik $r^{2} - c_{1} r - c_{2} = 0$ memiliki dua akar real berbeda $r_{1}$ dan $r_{2}$ , maka solusi umum dari relasi rekurensi adalah:

$a_{n} = α r_{1}^{n} + β r_{2}^{n}$

Teorema (Kasus Akar Kembar)

Jika persamaan karakteristik memiliki akar kembar $r_{1} = r_{2} = r$ , maka solusi umumnya adalah:

$a_{n} = (α + β n) r^{n}$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Formula Binet untuk Fibonacci)

Tentukan rumus eksplisit untuk barisan Fibonacci yang didefinisikan oleh $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}$ dengan $F_{0} = 0$ dan $F_{1} = 1$ .

Contoh (Rekurensi Akar Kembar)

Selesaikan relasi rekurensi $a_{n} = 6 a_{n - 1} - 9 a_{n - 2}$ dengan $a_{0} = 1$ dan $a_{1} = 6$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Akar Berbeda)

Selesaikan relasi rekurensi $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2}$ dengan $a_{0} = 2$ dan $a_{1} = 7$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Persamaan karakteristik: $r^{2} - r - 2 = 0 ⟹ (r - 2) (r + 1) = 0 ⟹ r_{1} = 2, r_{2} = - 1$ . $a_{n} = α 2^{n} + β (- 1)^{n}$ . Dengan $a_{0} = 2, a_{1} = 7 ⟹ α = 3, β = - 1$ . Rumus eksplisit: $a_{n} = 3 \cdot 2^{n} - (- 1)^{n}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Barisan Fibonacci dan Aplikasinya
Sub-Topik Selanjutnya: Definisi dan Struktur Dasar Graf →

Rekurensi Linier Homogen dan Persamaan Karakteristik

1. Persamaan Karakteristik

2. Solusi Umum Orde 2

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Barisan Fibonacci dan Aplikasinya

Definisi dan Struktur Dasar Graf (Handshaking Lemma)

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title