Teorema Binomial dan Identitas Pascal

Salah satu aplikasi paling kuat dari kombinasi adalah dalam ekspansi pangkat dari penjumlahan dua variabel, yang dikenal sebagai binomial.

1. Teorema Binomial

Teorema ini memberikan cara untuk mengekspansi bentuk $(x + y)^{n}$ . Koefisien dari setiap suku dalam ekspansi ini adalah nilai kombinasi.

Teorema (Teorema Binomial)

Untuk setiap bilangan bulat positif $n$ dan variabel $x, y$ , berlaku:

$(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) x^{n - k} y^{k}$

Argumen Kombinatorik: Ekspansi $(x + y)^{n}$ adalah hasil perkalian dari $n$ buah faktor $(x + y) (x + y) \dots (x + y)$ . Untuk mendapatkan suku $x^{n - k} y^{k}$ , kita memilih $y$ dari tepat $k$ faktor, dan sisanya ( $n - k$ faktor) menyumbangkan $x$ . Banyaknya cara memilih $k$ faktor dari $n$ faktor adalah $(k n)$ .

2. Identitas Pascal dan Segitiga Pascal

Teorema (Identitas Pascal)

Untuk bilangan bulat $n$ dan $k$ dengan $1 \leq k \leq n$ , berlaku:

$(k n) = (k n - 1) + (k - 1 n - 1)$

Bukti Kombinatorik: Misalkan kita memilih $k$ elemen dari $n$ elemen, di mana satu elemen diberi label khusus $a$ .

Jika $a$ tidak dipilih: pilih $k$ elemen dari $n - 1$ sisa $⟹ (k n - 1)$ .
Jika $a$ dipilih: pilih $k - 1$ elemen dari $n - 1$ sisa $⟹ (k - 1 n - 1)$ . Total cara adalah jumlah keduanya. $■$

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Koefisien Binomial)

Tentukan koefisien dari $x^{12} y^{13}$ dalam ekspansi $(2 x - 3 y)^{25}$ .

Contoh (Identitas Jumlah Koefisien Binomial)

Gunakan argumen kombinatorik untuk membuktikan bahwa $\sum_{k = 0}^{n} (k n) = 2^{n}$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Suku Konstanta)

Tentukan suku konstanta (suku yang tidak mengandung $x$ ) pada ekspansi $(x^{2} + \frac{1}{x})^{12}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Suku umum: $(k 12) (x^{2})^{12 - k} (x^{- 1})^{k} = (k 12) x^{24 - 3 k}$ . Agar bebas $x$ , maka $24 - 3 k = 0 ⟹ k = 8$ . Suku konstanta: $(8 12) = (4 12) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Pengaturan Multiset & Stars and Bars
Sub-Topik Selanjutnya: Prinsip Sarang Merpati (Pigeonhole) →

Teorema Binomial dan Identitas Pascal

1. Teorema Binomial

2. Identitas Pascal dan Segitiga Pascal

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Pengaturan Benda Identik dan Berbeda (Multiset & Stars and Bars)

The Pigeonhole Principle (Prinsip Sarang Merpati)

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title