Pembagi Nol, Daerah Integral, dan Lapangan

Dalam aritmetika bilangan real, jika $ab = 0$ , maka $a = 0$ atau $b = 0$ . Namun pada ring secara umum, sifat ini tidak selalu berlaku.

1. Pembagi Nol dan Daerah Integral

Definisi (Pembagi Nol (Zero Divisor))

Misalkan $R$ adalah ring komutatif. Unsur tidak nol $a \in R$ disebut pembagi nol jika terdapat $b \in R$ dengan $b \neq = 0$ sedemikian sehingga $ab = 0$ .

Definisi (Daerah Integral (Integral Domain))

Suatu ring komutatif dengan satuan $1 \neq = 0$ disebut daerah integral jika tidak memiliki pembagi nol ( $ab = 0 ⟹ a = 0 atau b = 0$ ).

Teorema (Hukum Kanselasi Perkalian)

Dalam daerah integral $D$ , jika $ab = a c$ dan $a \neq = 0$ , maka $b = c$ .

2. Lapangan (Field)

Definisi (Lapangan (Field))

Suatu ring komutatif dengan satuan $1 \neq = 0$ disebut lapangan (field) jika setiap unsur tidak nol di dalamnya memiliki invers perkalian ( $a \cdot a^{- 1} = 1$ ).

Teorema (Hubungan Daerah Integral dan Lapangan)

Setiap lapangan adalah daerah integral.
Setiap daerah integral yang berhingga adalah lapangan.

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Pembagi Nol di Z_6)

Tentukan semua pembagi nol dalam ring $Z_{6}$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Z_p Lapangan jika dan hanya jika p Prima)

Buktikan bahwa $Z_{p}$ adalah lapangan jika dan hanya jika $p$ adalah bilangan prima.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

( $⟹$ ) Jika $p = ab$ komposit, $a \cdot b \equiv 0 (mod p) ⟹ a$ pembagi nol, jadi bukan daerah integral (bukan lapangan).
( $⟸$ ) Jika $p$ prima, untuk setiap $a \neq \equiv 0 (mod p)$ , $fpb (a, p) = 1$ . Berdasarkan identitas Bezout, $a x + p y = 1 ⟹ a x \equiv 1 (mod p)$ . Maka $a$ memiliki invers. Karena $Z_{p}$ berhingga, $Z_{p}$ adalah lapangan. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Definisi dan Sifat Dasar Ring
Sub-Topik Selanjutnya: Karakteristik Ring →

Pembagi Nol, Daerah Integral, dan Lapangan

1. Pembagi Nol dan Daerah Integral

2. Lapangan (Field)

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (2 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (3)

Definisi dan Sifat Dasar Ring

Karakteristik Ring

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title