Soal Latihan Pengayaan Bab 1: Matriks dan Determinan

Pembahasan:

1. Gunakan induksi matematika. Untuk $k=1$, $AB-BA=A$ (benar). Asumsikan berlaku untuk $k$: $A^{k}B-B{A}^k=k{A}^k$. Untuk $k+1$: $A^{k+1}B-B{A}^{k+1}=A(A^{k}B)-B{A}^{k+1}=A(B{A}^k+k{A}^k)-B{A}^{k+1}=(AB-BA)A^k+k{A}^{k+1}=A\cdot A^k+k{A}^{k+1}=(k+1)A^{k+1}$. Terbukti.
2. Ambil trace pada kedua ruas $A^{k}B-B{A}^k=k{A}^k$: $\text{tr}(A^{k}B-B{A}^k)=0⟹k\cdot \text{tr}(A^k)=0⟹\text{tr}(A^k)=0$ untuk semua $k\ge 1$. Berdasarkan identitas Newton-Girard, matriks yang seluruh trace pangkatnya nol adalah matriks nilpoten ($A^n=0$). $■$

Pembahasan: Jumlahkan semua kolom ke kolom pertama: kolom 1 menjadi $x+(n-1)a$. Keluarkan faktor $(x+(n-1)a)$ dari kolom 1. Kurangkan baris 1 dari baris-baris lainnya ($i=2\dots n$): elemen diagonal lainnya menjadi $x-a$, dan seluruh elemen lain menjadi 0. Determinan $=(x+(n-1)a)(x-a{)}^{n-1}$. $■$

Pembahasan: Faktorkan $A^2+B^2=(A+iB)(A-iB)$ karena $AB=BA$. $\det (A^2+B^2)=\det (A+iB)\det (A-iB)=\det (A+iB)\overline{\det (A+iB)}=|\det (A+iB){|}^2\ge 0$. $■$

Pembahasan: Vektor kolom $v=(1,1,\dots ,1{)}^T$ memenuhi $Av=sv=sIv$. Maka $(A-sI)v=0$. Karena $v\ne 0$, $v\in \text{Ker}(A-sI)⟹\det (A-sI)=0$. $■$

Pembahasan:

1. Nilai eigen $A$ memenuhi ${\lambda }^2+1=0⟹\lambda =\pm i$. Karena $A$ matriks real, akar kompleks harus muncul berpasangan konjugat $⟹n=2k$ (genap).
2. Determinan adalah hasil kali nilai eigen: $\det (A)=(i\cdot (-i){)}^k=1^k=1$. $■$

Pembahasan: Lakukan OBE baris: kurangi baris ke-$i$ dengan baris ke-$(i-1)$ untuk $i=n,n-1,\dots ,2$. Matriks menjadi segitiga atas dengan elemen diagonal utama semuanya $1$. Maka $\det (A)=1$. $■$