Ruang Vektor Real dan Kompleks

Konsep ruang vektor merupakan generalisasi dari sifat-sifat vektor pada $R^{n}$ . Ruang vektor adalah himpunan objek yang dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian skalar yang memenuhi 10 aksioma formal.

1. Aksioma Ruang Vektor

Definisi (Ruang Vektor)

Misalkan $F$ adalah lapangan ( $R$ atau $C$ ). Himpunan tak kosong $V$ disebut ruang vektor atas $F$ jika untuk setiap $u, v, w \in V$ dan $a, b \in F$ memenuhi:

Tertutup Penjumlahan: $u + v \in V$ .
Komutatif Penjumlahan: $u + v = v + u$ .
Asosiatif Penjumlahan: $(u + v) + w = u + (v + w)$ .
Identitas Penjumlahan: Terdapat $0 \in V$ sehingga $v + 0 = v$ .
Invers Penjumlahan: Terdapat $- v \in V$ sehingga $v + (- v) = 0$ .
Tertutup Perkalian Skalar: $a v \in V$ .
Distributif Skalar: $a (u + v) = a u + a v$ .
Distributif Vektor: $(a + b) v = a v + b v$ .
Asosiatif Perkalian Skalar: $a (b v) = (ab) v$ .
Identitas Skalar: $1 v = v$ .

2. Contoh Standar Ruang Vektor

Ruang Koordinat: $R^{n}$ atau $C^{n}$ .
Ruang Matriks: $M_{m \times n} (F)$ .
Ruang Polinomial: $P_{n} (F)$ (polinomial derajat $\leq n$ ).
Ruang Fungsi Kontinu: $C [a, b]$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Ruang Vektor Pasangan Positif (R^+ x R^+))

Tunjukkan bahwa $V = {(x, y) \in R^{2} : x, y > 0}$ dengan penjumlahan $(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} x_{2}, y_{1} y_{2})$ dan perkalian skalar $c (x, y) = (x^{c}, y^{c})$ adalah ruang vektor.

Latihan Soal Section 2.1

✏️ Latihan Soal 1 (Himpunan Matriks det(A) = 0)

Periksalah apakah himpunan semua matriks $n \times n$ yang memiliki determinan 0 merupakan ruang vektor atas $R$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Bukan ruang vektor. Himpunan tidak tertutup terhadap penjumlahan. Contoh untuk $2 \times 2$ : $A = (1000)$ ( $det (A) = 0$ ) dan $B = (0001)$ ( $det (B) = 0$ ). Namun $A + B = (1001) = I ⟹ det (A + B) = 1 \neq = 0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Perkalian Skalar 0v = 0)

Misalkan $V$ adalah ruang vektor. Buktikan bahwa $0 v = 0$ untuk setiap $v \in V$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Hitung $0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v$ . Tambahkan invers $- (0 v)$ pada kedua ruas: $0 v + (- (0 v)) = (0 v + 0 v) + (- (0 v)) ⟹ 0 = 0 v + (0 v + (- (0 v))) ⟹ 0 = 0 v + 0 ⟹ 0 v = 0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Kanselasi Skalar av = bv)

Buktikan bahwa jika $v \neq = 0$ dan $a v = b v$ , maka $a = b$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $a v = b v ⟹ a v - b v = 0 ⟹ (a - b) v = 0$ . Karena $v \neq = 0$ , haruslah $a - b = 0 ⟹ a = b$ . $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Ruang Vektor Kompleks atas Real C atas R)

Tunjukkan bahwa $C$ dapat dipandang sebagai ruang vektor atas lapangan real $R$ . Berapakah dimensinya?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Setiap $z \in C$ berbentuk $a + bi$ dengan $a, b \in R$ . Basisnya adalah ${1, i}$ atas $R$ . Maka dimensinya adalah $dim_{R} (C) = 2$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Soal Latihan Pengayaan Bab 1
Sub-Topik Selanjutnya: Subruang dan Hasil Tambah Langsung →

1. Aksioma Ruang Vektor

2. Contoh Standar Ruang Vektor

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 2.1

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (4)

Soal Latihan Pengayaan Bab 1: Matriks dan Determinan

Operasi Matriks dan Sifat Aljabar Matriks

Subruang dan Hasil Tambah Langsung

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title