Latihan Soal Bab 1: Sistem Bilangan Kompleks

Pembahasan: Diketahui $P(z_0)=0⟹{\sum }_{k=0}^n{a}_k{z}_0^k=0$. Ambil konjugat dari kedua ruas: $\overline{{\sum }_{k=0}^n{a}_k{z}_0^k}=\bar{0}=0$. Karena $a_k\in \mathbb{R}⟹{\bar{a}}_k=a_k$. Maka ${\sum }_{k=0}^n{a}_k{\bar{z}}_0^k=P({\bar{z}}_0)=0$. Terbukti ${\bar{z}}_0$ adalah akar. $■$

Pembahasan: Persamaan $z^n+\cdots +1=0⟹\frac{z^{n+1}-1}{z-1}=0$ ($z\ne 1$). Akar-akarnya berpasangan konjugat $z_k=e^{i2k\pi /(n+1)}$. Perhatikan $\text{Re}\left(\frac{1}{1-e^{i\theta }}\right)=\text{Re}\left(\frac{1-e^{-i\theta }}{|1-e^{i\theta }{|}^2}\right)=\frac{1-\cos \theta }{2(1-\cos \theta )}=\frac{1}{2}$. Karena $\sum \frac{1}{1-z_k}$ bernilai real, maka jumlahnya adalah $n\times \frac{1}{2}=\frac{n}{2}$. $■$