Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Aljabar Linear

Tulis matriks sebagai $(2I+N)$ dengan $N=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$.

Karena $N^2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$, maka $N^k=0$ untuk seluruh $k\ge 2$.

Berdasarkan ekspansi Teorema Binomial:

$(2I+N{)}^{2018}=(2I{)}^{2018}+2018\cdot (2I{)}^{2017}N+0=\left[\begin{array}{cc}{2}^{2018}& 0\\ 0& 2^{2018}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 2018\cdot 2^{2017}\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{2}^{2018}& 2018\cdot 2^{2017}\\ 0& 2^{2018}\end{array}\right].$

Gunakan operasi baris elementer pada matriks $A$:

Kurangkan baris 2 dengan baris 1, dan baris 4 dengan baris 3. Setelah menyederhanakan determinan matriks $4\times 4$, diperoleh faktor:

$\det (A)=(\alpha -1)(\beta -1)(\alpha +\beta +\alpha \beta -3).$

Vektor kedua $\left[\begin{array}{cc}3& -6\\ -3& 9\end{array}\right]=-3\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -3\end{array}\right]$ (kelipatan skalar dari vektor pertama).

Vektor keempat $\left[\begin{array}{cc}3& -3\\ -3& 8\end{array}\right]$ merupakan kombinasi linear dari vektor pertama dan ketiga.

Maka dua vektor yang saling bebas linear yang membangun subruang tersebut adalah:

$\left\{\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right]\right\}.$

Matriks representasi dari bentuk bilinear $f$ pada komponen $u_1,u_2$ adalah $M=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ -3& k\end{array}\right]$.

Syarat $f$ merupakan hasil kali dalam (definit positif):

• Minor utama 1: $\det ([1])=1>0$.
• Minor utama 2: $\det (M)=k-(-3)(-3)=k-9>0⟹k>9$.

Dari $A^{T}A=4I$, diperoleh $A^{-1}=\frac{1}{4}{A}^T$.

Jika $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$, maka $\lambda$ juga nilai eigen dari $A^T$.

Di lain pihak, $\frac{1}{\lambda }$ adalah nilai eigen dari $A^{-1}=\frac{1}{4}{A}^T⟹\frac{4}{\lambda }$ adalah nilai eigen dari $A^T$.

Sehingga $\lambda =\frac{4}{\lambda }⟹{\lambda }^2=4⟹\lambda =\pm 2$.

Matriks representasi dari $D^2+D+I$ relatif terhadap basis standar $\{1,x,x^2\}$:

• $(D^2+D+I)(1)=1$
• $(D^2+D+I)(x)=1+x$
• $(D^2+D+I)(x^2)=2+2x+x^2$

Matriksnya adalah $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$. Nilai eigen tunggalnya adalah $\lambda =1$.

Multiplisitas geometrinya adalah $\text{dim}(\text{Null}(M-I))=3-\text{rank}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=3-2=1$.

Ruang nol matriks $K=\text{span}\{(0,1,-1)\}$.

Setiap vektor $(x,y,z)\in K^{\perp }$ harus ortogonal terhadap $(0,1,-1)$:

$(x,y,z)\cdot (0,1,-1)=y-z=0⟹y=z.$

Maka $(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,1)$, sehingga $K^{\perp }=\text{span}\{(1,0,0),(0,1,1)\}$.

Misalkan basis $X=\{A,B,C,D\}$. Hitung peta masing-masing basis di bawah $T$:

• $T(A)=A-B$
• $T(B)=2A-B$
• $T(C)=2A-B-D$
• $T(D)=-B+C$

Didapatkan matriks representasi $[T{]}_X=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 0\\ -1& -1& -1& -1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right].$

Garis $y=\tan (\theta )x$ memiliki sudut $\theta =-30^{\circ }=-\frac{\pi }{6}$.

Matriks pencerminan terhadap garis dengan sudut $\theta$ adalah:

$R_{2\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos (2\theta )& \sin (2\theta )\\ \sin (2\theta )& -\cos (2\theta )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (-60^{\circ })& \sin (-60^{\circ })\\ \sin (-60^{\circ })& -\cos (-60^{\circ })\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1/2& -\sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right]$

Hitung $T(-5,-4)$:

$T\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}1/2& -\sqrt{3}/2\\ -\sqrt{3}/2& -1/2\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}-5\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{5}{2}+2\sqrt{3}\\ \frac{5\sqrt{3}}{2}+2\end{array}\right).$

Tinjau matriks blok $M=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right]$.

Dimensi bayangan (image) dari $M$ mencakup bayangan dari blok $A$ pada vektor kolom berbentuk $(v,0{)}^T$ dan bayangan dari blok $B$ pada komponen baris bawah.

Karena suku bawah kiri matriks bernilai $0$, tidak ada kombinasi linear kolom baris bawah dari $A$ yang dapat membatalkan kolom bebas linear dari $B$.

Maka $\text{rank}(M)\ge \text{rank}(A)+\text{rank}(B)$.

Matriks $A$ berukuran $(n+1)\times (n+1)$ merupakan matriks Hermitian ($A^{\ast }=A$).

Persamaan nilai eigen $Av=\lambda v$ untuk $v=(c,y{)}^T$ dengan $c\in \mathbb{C},y\in {\mathbb{C}}^n$:

1. $x^{\ast }y=\lambda c$
2. $cx=\lambda y$

Substitusi (2) ke (1): $x^{\ast }(cx/\lambda )=\lambda c⟹\frac{c}{\lambda }{x}^{\ast }x=\lambda c⟹{\lambda }^{2}c=c$ (karena $\Vert x{\Vert }_2^2=x^{\ast }x=1$).

• Untuk $c\ne 0⟹{\lambda }^2=1⟹\lambda =1$ dan $\lambda =-1$.
  • Vektor eigen $\lambda =1$: $\left(\begin{array}{c}1\\ x\end{array}\right)$.
  • Vektor eigen $\lambda =-1$: $\left(\begin{array}{c}1\\ -x\end{array}\right)$.
• Untuk $c=0⟹\lambda =0$ dengan ruang eigen berdimensi $n-1$ (seluruh $y\in {\mathbb{C}}^n$ yang ortogonal terhadap $x$).

Nilai eigen dari $A$ adalah $\lambda =1,-1$, dan $0$ (dengan multiplisitas $n-1$).