Soal Latihan Pengayaan Bab 5: Ruang Hasil Kali Dalam

Pembahasan:

• $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2$.
• $\Vert u-v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2-2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2$.
• Kurangi kedua persamaan: $\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2=4⟨u,v⟩⟹⟨u,v⟩=\frac{1}{4}\left(\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2\right)$. $■$

Pembahasan: Hitung $0=\Vert u+v+w{\Vert }^2=⟨u+v+w,u+v+w⟩$. $=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2+2(⟨u,v⟩+⟨v,w⟩+⟨w,u⟩)$. $0=1+1+1+2(⟨u,v⟩+⟨v,w⟩+⟨w,u⟩)$. Maka $⟨u,v⟩+⟨v,w⟩+⟨w,u⟩=-\frac{3}{2}$. $■$

Pembahasan: Telah dibuktikan di Section 5.3 bahwa $(\text{Row }A{)}^{\perp }=\text{Ker}(A)$. Karena $\text{Row }A=\text{Im}(A^T)$, maka $(\text{Im}(A^T){)}^{\perp }=\text{Ker}(A)$. Berdasarkan Teorema Dekomposisi Ortogonal: ${\mathbb{R}}^n=\text{Im}(A^T)\oplus \text{Ker}(A)$. $■$

Pembahasan: Misalkan $T(v)=\lambda v$ dengan $v\ne 0$. Hitung $⟨T(v),v⟩=⟨\lambda v,v⟩=\lambda ⟨v,v⟩=\lambda \Vert v{\Vert }^2$. Di sisi lain, $⟨T(v),v⟩=⟨v,T(v)⟩=⟨v,\lambda v⟩=\overline{\lambda }⟨v,v⟩=\overline{\lambda }\Vert v{\Vert }^2$. Maka $(\lambda -\overline{\lambda })\Vert v{\Vert }^2=0$. Karena $\Vert v{\Vert }^2>0⟹\lambda =\overline{\lambda }$, sehingga $\lambda \in \mathbb{R}$. $■$