Latihan Soal Bab 5: Deret dan Residu

Halaman ini berisi kumpulan latihan soal Bab 5 untuk memperdalam pemahaman mengenai deret Laurent dan aplikasi Teorema Residu.

Latihan Soal Bab 5

✏️ Latihan Soal 1 (Integral Real int_0^{2pi} dtheta / (5 + 4 cos theta))

Gunakan teknik residu untuk membuktikan nilai integral real $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{5 + 4 c o s θ} = \frac{2 π}{3}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Substitusi $z = e^{i θ} ⟹ cos θ = \frac{1}{2} (z + 1/ z)$ dan $d θ = \frac{d z}{i z}$ . $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{5 + 4 c o s θ} = \oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{d z / i z}{5 + 2 ( z + 1/ z )} = \oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{d z}{i ( 2 z ^{2} + 5 z + 2 )} = \oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{d z}{i ( 2 z + 1 ) ( z + 2 )}$ . Akar penyebut di dalam $∣ z ∣ = 1$ adalah $z = - 1/2$ . Residu di $z = - 1/2$ : $lim_{z \to - 1/2} (z + 1/2) \frac{1}{i ( 2 z + 1 ) ( z + 2 )} = \frac{1}{2 i ( - 1/2 + 2 )} = \frac{1}{3 i}$ . Berdasarkan Teorema Residu: $\oint = 2 π i (\frac{1}{3 i}) = \frac{2 π}{3}$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Teorema Residu Cauchy
Sub-Topik Selanjutnya: Teorema Liouville dan Aplikasi →

Latihan Soal Bab 5: Deret dan Residu

Latihan Soal Bab 5

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (6)

Komplemen Ortogonal dan Dekomposisi Ruang

Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat

Teorema Liouville dan Aplikasi

Teorema Residu Cauchy

Ideal, Ideal Maksimal, dan Ideal Prima

Karakteristik Ring

Diskusi & Tanya Jawab

Title