Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Aljabar Linear

Subruang $W=\{p(x)\in P_2\mid p(1)=0\}$ dari ruang vektor $P_2$ adalah subruang berdimensi $\dots$

Misalkan $T:P_2\to P_2$ adalah transformasi linear yang didefinisikan sebagai $T(p(x))=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p(x)),\text{untuk setiap}p(x)\in P_2.$ Maka matriks representasi (penyajian) $T$ terhadap basis $\{1,x,x^2\}$ adalah $\dots$

Misalkan $\mathbf{e}$ vektor di ${\mathbb{R}}^2$ yang semua komponennya $1$. Jika $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^2$ memberikan $\mathbf{I}-{\mathbf{ey}}^T\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ singular, maka $\text{tr}(\mathbf{I}-{\mathbf{ey}}^T)=\dots$

Misalkan $K=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ adalah subruang dari ruang Euclid ${\mathbb{R}}^3$. Maka penulisan $(1,0,0)$ sebagai unsur $K\oplus K^{\perp }$ adalah $\dots$

Pandang $P_2$ dengan hasil kali dalam $⟨p,q⟩={\int }_0^{1}p(x)q(x)\mathrm{d}x.$ Proses Gram-Schmidt pada $\{1,1-x\}$ menghasilkan $\dots$

Jika $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ adalah vektor eigen matriks $\left[\begin{array}{cc}3& 2-a\\ a& -3\end{array}\right]$, maka $a=\dots$

Jika $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& -3\end{array}\right]$, maka $\sum _{k=0}^{2012}{\mathbf{A}}^k=\dots$

Misalkan $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{6\times 6}$ tak singular dan untuk $i=1,2,\dots ,6$, kolom ke-$i$ matriks $\mathbf{A}$ adalah ${\mathbf{a}}_i$. Jika $\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cccccc}{\mathbf{a}}_2& {\mathbf{a}}_3& {\mathbf{a}}_4& {\mathbf{a}}_5& {\mathbf{a}}_6& 0\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{6\times 6}$ dan $\mathbf{C}={\mathbf{BA}}^{-1}$, banyaknya nilai eigen berbeda matriks $\mathbf{C}$ adalah $\dots$

Misalkan $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{B}$ dua unsur di ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ yang memenuhi $\mathbf{B}-\mathbf{A}+\mathbf{BA}=2\mathbf{I}$. Buktikan bahwa $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$.

Misalkan $V$ adalah ruang vektor kompleks dan $T:V\to V$ linear. Misalkan $m$ adalah bilangan asli. Jika $\text{Ker}(T^{m-1})=\text{Ker}(T^m),$ buktikan bahwa $\text{Ker}(T^m)=\text{Ker}(T^{m+1}).$

Misalkan $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{3\times 3},\mathbf{A}\ne 0$, yang memenuhi ${\mathbf{u}}^T\mathbf{A}=0,$ untuk setiap $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^3.$ Selidiki kebenaran pernyataan: terdapat vektor $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^3$ sehingga $\mathbf{Au}=\mathbf{v}\times \mathbf{u},$ untuk setiap $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^3.$