Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Aljabar Linear

Misalkan $K$ dan $L$ dua subruang berbeda dari ruang vektor real $V$. Jika $\dim (K)=\dim (L)=4$, maka dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $\dots$

Misalkan $P_2$ adalah ruang polinom real berderajat paling tinggi $2$. Koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2+x,x+1,x^2+1\}$ di $P_2$ adalah $\dots$

Subruang $U$ dan $W$ dari ruang vektor ${\mathbb{R}}^5$ masing-masing dibangun oleh $\{(1,3,-2,2,3),(1,4,-3,4,2),(2,3,-1,-2,9)\}$ dan $\{(1,3,0,2,1),(1,5,-6,6,3),(2,5,3,2,1)\}$ Salah satu basis dari subruang $U\cap W$ adalah $\dots$

Dengan hasil kali dalam $⟨A,B⟩=\text{tr}(B^{T}A),A,B\in {\mathbb{R}}^{2\times 2},$ $\left\{\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ a& 0\end{array}\right]\right\}$ adalah himpunan ortogonal jika dan hanya jika $a=\dots$

Inti transformasi linear $T:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3$ dibangun oleh $\{(1,2,3,4),(0,1,1,1)\}$. Jika $T(a,b,c,d)=(a+b-c,x,0)$, maka $x=\dots$

Misalkan $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right]$. Misalkan $T$ operator linear pada ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$ dengan aturan $T(X)=AX-XA,\forall X\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$. Maka $\text{rank}(T)=\dots$

Matriks $\left[\begin{array}{cc}w& 1\\ -1& 3\end{array}\right]$ memiliki dua nilai eigen yang sama jika dan hanya jika $w\in S.$ Maka $S=\dots$

Misalkan $V$ ruang vektor fungsi-fungsi $a{e}^{3x}\sin x+b{e}^{3x}\cos x$. Transformasi $T:V\to V$ didefinisikan $T(f)=f^{\prime }+f$ untuk setiap $f\in V$. Matriks representasi $T$ terhadap basis $\{e^{3x}\sin x,e^{3x}\cos x\}$ adalah $\dots$

Misalkan $A,B,C,D$ matriks-matriks berukuran $n\times n$. Misalkan pula $A$ memiliki balikan dan $AC=CA$. Buktikan bahwa $\det \left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\det (AD-CB).$

Misalkan $(v_1,v_2,\dots ,v_n)\in {\mathbb{R}}^n$ dan $A=(a_{ij})$ adalah matriks $n\times n$ dengan $a_{ij}=v_i{v}_j$. Jika $\text{rank}(A)=1$, tentukanlah nilai $k$ yang memenuhi $(I+A{)}^{-1}=I-\frac{1}{k}A.$

Misalkan $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],\mathbf{A}=[\mathbf{v}\mathbf{v}]$ dan $K=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^2\mid \mathbf{Ax}=\mathbf{v}\}$. Tentukan nilai $\min \{||x|{|}_2\mid \mathbf{x}\in K\}$.