Soal Latihan Pengayaan Bab 4: Nilai & Vektor Karakteristik

Pembahasan:

• Jika $A$ invertibel: $BA=A^{-1}(AB)A⟹AB$ dan $BA$ serupa $⟹$ polinom karakteristiknya identik.
• Jika $A$ tidak invertibel: matriks $A+ϵI$ invertibel untuk hampir semua $ϵ>0$. Karena $(A+ϵI)B$ dan $B(A+ϵI)$ memiliki polinom karakteristik sama untuk setiap $ϵ>0$, kontinuitas determinan saat $ϵ\to 0$ menjamin $\det (AB-\lambda I)=\det (BA-\lambda I)$. $■$

Pembahasan: Misalkan ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ adalah nilai-nilai eigen dari $A$. Diketahui ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i^k=0$ untuk $k=1,\dots ,n$. Berdasarkan identitas Newton-Girard untuk fungsi simetris dasar, koefisien polinom karakteristik $c_1,\dots ,c_n$ semuanya nol. Maka $p(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n=0⟹$ seluruh nilai eigen ${\lambda }_i=0⟹A$ nilpoten ($A^n=0$). $■$

Pembahasan: Misalkan $v_i$ adalah vektor eigen $A$ yang bersesuaian dengan ${\lambda }_i⟹A{v}_i={\lambda }_i{v}_i$. Maka $A^k{v}_i={\lambda }_i^k{v}_i$. Untuk $p(x)=\sum c_k{x}^k$: $p(A)v_i=\sum c_k{A}^k{v}_i=\sum c_k{\lambda }_i^k{v}_i=p({\lambda }_i)v_i$. Maka $p({\lambda }_i)$ adalah nilai eigen dari $p(A)$. $■$

Pembahasan: Dari soal Bab 1, $A^{k}B-B{A}^k=k{A}^k$. Ambil trace: $k\cdot \text{tr}(A^k)=0⟹\text{tr}(A^k)=0$ untuk seluruh $k\ge 1$. Maka seluruh nilai eigen dari $A$ haruslah $0$. $■$