Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Aljabar Linear

Jika $a,b,c$ adalah bilangan real yang memenuhi $a(1,0,2)+b(0,2,1)+c(2,-2,3)=(x,y,z)$, maka $a+b+2c=\dots$

Jika $K$ dan $L$ dua subruang dari ${\mathbb{R}}^{10}$ dan $\dim (K)+\dim (L)=12,$ maka nilai terkecil yang mungkin untuk $\dim (K\cap L)$ adalah $\dots$

Diberikan basis $S=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}$ bagi ${\mathbb{R}}^3$ dan vektor $\mathbf{u}=(1,2,1)$ di ${\mathbb{R}}^3$. Koordinat $\mathbf{u}$ terhadap basis $S$ adalah $\dots$

Misalkan $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$. Salah satu matriks real tak singular $P$ yang membuat $P^{-1}AP$ matriks diagonal adalah $\dots$

Misalkan $A=[a_{ij}]$ matriks berukuran $2010\times 2010$, dengan $a_{ij}=\{\begin{array}{ll}i& \text{untuk }i+j=2010\\ 0,& \text{untuk }i+j\ne 2010\end{array}$ maka $\det (A)=\dots$

Misalkan $J:P_1\to \mathbb{R}$ adalah transformasi pengintegralan $J(p)={\int }_{-1}^{1}p(x)\mathrm{d}x$ maka $\ker (J)=\dots$

Diketahui matriks $A=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 7\end{array}\right]$ dan $E=\left[\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 1\end{array}\right]$. Sedangkan $F$ dan $G$ adalah matriks dasar (elementer) sehingga $A^{-1}=EFG,$ maka $F-G=\dots$

Untuk polinom-polinom $p=p(x)$ dan $q=q(x)$ di $P_2$, didefinisikan $⟨p,q⟩=p(0)q(a)+p(\frac{1}{2})q(b)+p(1)q(c).$ Untuk $a,b$ dan $c$ tertentu, $⟨\dots ⟩$ merupakan hasil kali dalam pada $P_2$ dengan norma yang berasal dari hasil kali dalam tersebut, $\Vert 4x^2-1\Vert =\dots$

Misalkan $T_1:{\mathbb{R}}^{3\times 3}\to {\mathbb{R}}^{3\times 3}$ adalah transformasi linear dengan $T_2(A)=A^T$. Jika $A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$ dan $(T_1\circ T_2)(A)=T_1(A)$, maka $T_1(A)=\dots$

Misalkan $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. Jika kolom kedua matriks $A$ merupakan kelipatan $k$ dari kolom keempat, maka salah satu pasangan karakteristik (pasangan eigen) untuk matriks $A$ adalah $\dots$

Misalkan $D$ menyatakan operator diferensial pada $P_n$. Untuk $k=2,3,\dots ,n$, tuliskan $D^k=D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D,$ yaitu komposisi $k$ buah $D$. Didefinisikan operator $T=I+D+D^2+\cdots +D^n$ pada $P_n$.

(a) Tunjukkan bahwa $X=\{1\}\cup \{x^k-k{x}^{k-1}\mid k=1,2,3,\dots ,n\}$ adalah basis bagi $P_n$.

(b) Periksa apakah $T$ pada. Berikan bukti jawaban Anda.

Misalkan $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. Untuk $i=1,2,\dots ,n,A_i$ adalah matriks berukuran $(n-1)\times (n-1)$ yang diperoleh dari matriks $A$ dengan menghilangkan baris dan kolom ke-$i$. Misalkan juga $p(t)$ dan $p_i(t)$ berturut-turut adalah polinom-polinom karakteristik matriks $A$ dan $A_i$. Tentukan hubungan linear antara $\frac{\mathrm{d}p(t)}{\mathrm{d}t}$ dan $p_i(t)$ untuk $i=1,2,\dots ,n$.

Pandang ${\mathbb{R}}^2$ dengan hasil kali dalam standar (baku). Misalkan $A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ memenuhi $⟨Av,Aw⟩=⟨v,w⟩$ untuk semua $v,w\in {\mathbb{R}}^2.$ Buktikan bahwa $A$ tak singular dan bahwa $A^{-1}=A^T$.