Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Aljabar Linear

Diketahui bahwa $V$ adalah subruang dari $P_3$ yang dibangun oleh $\{x^3+x^2,x^3+x,x+1,x^2+1\}$, maka dimensi $V$ adalah $\dots$

Misalkan $A=[a_{ij}]$ matriks berukuran $2011\times 2011$. Jika $a_{ij}=i+j$ untuk setiap $i,j$, maka $\text{rank}(A)=\dots$

Bidang $B$ di ${\mathbb{R}}^3$ melalui titik-titik $(1,0,0),(0,1,0),$ dan $(0,0,-1)$. Vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang $B$ adalah $\dots$

Diberikan vektor-vektor ${\mathbf{x}}_1=(1,1,0),{\mathbf{x}}_2=(0,1,1)$ di ${\mathbb{R}}^3$. Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$ menghasilkan vektor ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$. Maka ${\mathbf{v}}_2=\dots$

Misalkan $A$ dan $B$ matriks-matriks real berukuran berturut-turut $4\times 2$ dan $2\times 4$. Jika $AB=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ -1& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 1\end{array}\right],$ maka $BA=\dots$

Misalkan $T:P_2\to \mathbb{R}$ adalah transformasi linear yang didefinisikan sebagai $T(p(x))={\int }_0^{1}p(x)\mathrm{d}x,\text{untuk setiap}p(x)\in P_2.$ Maka dimensi $\text{Ker}(T)$ adalah $\dots$

Misalkan $\mathbf{v}=(1,-2,4),\mathbf{w}=(-3,6,k)\in {\mathbb{R}}^3$. Jika tidak ada $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^3$ sehingga $\mathbf{w}$ adalah hasil proyeksi $\mathbf{u}$ pada $\mathbf{v}$, maka himpunan semua nilai $k$ yang mungkin adalah $\dots$

Misalkan $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ didefinisikan sebagai $f(\mathbf{x},\mathbf{y})=x_1{y}_1-x_2{y}_2+3x_3{y}_3,$ untuk setiap $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3),\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3.$ Maka $f$ bukan hasil kali dalam di ${\mathbb{R}}^3$ karena tidak memenuhi sifat $\dots$

Misalkan matriks $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. Jika $A$ mempunyai $k$ kolom yang sama, maka dimensi ruang eigen $A$ untuk nilai eigen $\lambda =0$ paling sedikit adalah $\dots$

Misalkan $T$ operator linear pada ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$ yang didefinisikan sebagai $T\left(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}c& a\\ d& b\end{array}\right],\text{untuk setiap}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}.$ Jika $A$ adalah vektor eigen $T$ untuk nilai eigen $-1$, maka $\det (A)=\dots$

Misalkan $A=[a_{ij}]$ matriks berukuran $2011\times 2011$ dengan $a_{ij}=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^{|i-j|}& \text{jika }i\ne j\\ 2& \text{jika }i=j.\end{array}$

Tentukan $\det (A).$

Misalkan $G$ operator linear pada ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$ yang memetakan $A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ ke $G(A)=A^T$, yaitu transpos dari $A$. Periksa apakah $G$ dapat didiagonalkan. Jika ya, berikan suatu diagonalisasi dari $G$.

Misalkan $V$ adalah subruang dari ${\mathbb{R}}^{50}$ yang dibangun oleh vektor-vektor ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{50}.$ Jika himpunan semua entri (komponen) ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{50}$ adalah himpunan bilangan $\{1,2,\dots ,2500\}$, tentukan nilai terkecil dan nilai terbesar yang mungkin untuk $\dim (V)$.