Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Aljabar Linear

Matriks eselon baris tereduksi untuk $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$ adalah $\dots$

Misalkan $W$ ruang vektor atas lapangan kompleks $\mathbb{C}$. Dengan demikian, $V$ juga ruang vektor atas lapangan real $\mathbb{R}$. Jika ${\dim }_{\mathbb{R}}(W)=2014$ maka ${\dim }_{\mathbb{C}}(W)=\dots$

Misalkan ${\mathbf{I}}_n$ adalah matriks identitas di ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ dan $a,b,c,d$ adalah bilangan-bilangan real tak nol. Jika $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}a{\mathbf{I}}_n& b{\mathbf{I}}_n\\ c{\mathbf{I}}_n& d{\mathbf{I}}_n\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{2n\times 2n}$, maka $\det (A)=\dots$

Misalkan $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ adalah transformasi pencerminan terhadap garis $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x.$ Untuk sebarang bilangan real $a$, $T(a,2014)=\dots$

Jika matriks $\left[\begin{array}{cc}3& 2-a\\ a& 3\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ memiliki dua vektor eigen yang saling ortogonal, maka $a=\dots$

Bilangan $-1$ adalah nilai eigen matriks $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& -1\\ 1& -2& 1& 0\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 0& 0\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{4\times 4}$. Dimensi ruang eigen $\mathbf{A}$ untuk nilai eigen $-1$ adalah $\dots$

Di ruang vektor $P_2$ kita definisikan hasil kali dalam $⟨p,q⟩=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1),$ untuk setiap $p,q\in P_2$. Salah satu unsur $P_2$ yang normanya 1 dan ortogonal terhadap kedua polinom $u(x)=x^2-1$ dan $v(x)=x$ adalah $\dots$

Transformasi linear $T:P_2\to P_2$ didefinisikan sebagai $T(p)(x)=p(1-x)-p(1+x),$ untuk setiap $p\in P_2$. Himpunan $\{a{x}^2+bx+c,b{x}^2+cx+a\}$ merupakan basis $\text{Ker}(T)$ jika $(a,b,c)=\dots$

Misalkan $V$ adalah ruang hasil kali dalam kompleks berdimensi hingga. Misalkan $\mathbf{u},\mathbf{w}\in V$ memenuhi $⟨\mathbf{u},\mathbf{w}⟩\ne 0.$ Jika $K=\text{span}\{\mathbf{u}\}$ dan $L=\text{span}\{\mathbf{w}\},$ buktikan bahwa $V=K^{\perp }\oplus L.$

Diberikan vektor-vektor tak nol $\mathbf{u},\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$. Buktikan bahwa matriks $\mathbf{A}=\mathbf{u}{\mathbf{v}}^T$ dapat didiagonalkan jika dan hanya jika ${\mathbf{u}}^T\mathbf{v}=0$.

Misalkan ${\mathbf{B}}_k=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 2& 2& \cdots & 2\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{2\times k}$. Didefinisikan ${\mathbf{A}}_1=[1],{\mathbf{A}}_2=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$ dan untuk $n\ge 3$, ${\mathbf{A}}_n=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_2& {\mathbf{B}}_{n-2}\\ {\mathbf{B}}_{n-2}^T& {\mathbf{A}}_{n-2}\end{array}\right]$. Buktikan bahwa ${\mathbf{A}}_n$ tak singular untuk setiap bilangan asli $n$.