Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Aljabar Linear

Jika $u=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 2\end{array}\right],A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 3\\ 0& 1\end{array}\right],\text{ dan }v=\left[\begin{array}{cc}2& -1\end{array}\right],$ maka $uA{v}^T=\dots$

Misalkan $A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& -2\end{array}\right],$ maka $A^{2016}=\dots$

Diberikan persamaan linear $\begin{array}{rl}x+y+z& =1\\ x+ay+2z& =-1\\ x+a^{2}y+4z& =2\\ 2x+(a+1)y+3z& =0\end{array}$ Nilai-nilai $a$ yang membuat sistem persamaan linear tersebut mempunyai solusi tunggal adalah $\dots$

Terhadap basis $\{1+x,x+x^2,1+x^2\}$, matriks representasi transformasi linear $T:P_2\to P_2$ adalah $\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ -2& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right].$ Maka $T(x-x^2)=\dots$

Pemetaan linear $T:P_2\to {\mathbb{R}}^2$ memenuhi $T(1+x)=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right],T(x+x^2)=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right],\text{ dan }T(1+x^2)=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right].$ Salah satu basis $\text{Ker}(T)$ adalah $\dots$

Diketahui $\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]$ adalah vektor eigen matriks $A=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 1& 2\end{array}\right]$ untuk nilai eigen $\lambda$. Maka nilai eigen $A$ selain $\lambda$ adalah $\dots$

Komponen baris ke-$i$ kolom ke-$j$ matriks $A$ yang berukuran $n\times n$ adalah $1$ jika $i+j$ ganjil dan $0$ jika $i+j$ genap. Jika $n$ ganjil, multiplisitas aljabar $0$ sebagai nilai eigen $A$ adalah $\dots$

Untuk $f,g\in C[0,1]$ didefinisikan hasil kali dalam $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)\mathrm{d}x$. Agar fungsi $f(x)=\sin kx$ dan $g(x)=\cos 7x$ tegak lurus pada ruang hasil kali dalam tersebut, maka nilai konstanta $k$ adalah $\dots$

Diberikan matriks $A$ ukuran $n\times n$, dengan entri-entri $a_{ij}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j}{j-1}\right).$ Hitunglah determinan $A_n$, jika didefinisikan $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}\right)=\frac{x(x-1)(x-2)\dots (x-n+1)}{n!}$ untuk setiap bilangan real $x$ dan bilangan asli $n$ dengan ketentuan $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{0}\right)=1.$

Di ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$ definisikan hasil kali dalam $⟨A,B⟩=\text{tr}(B^{T}A)$. Jika $W=\text{span}\left\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\right\},$ tentukan $W^{\perp },$ yaitu komplemen ortogonal dari $W$.

Diberikan $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, kita definisikan pemetaan $T:{\mathbb{R}}^{n\times n}\to {\mathbb{R}}^{n\times n}$ sebagai $T(X)=AX$, untuk setiap $X\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. Jika $\text{nullity}(A)=k$, tentukan $\text{nullity}(T)$.