Soal Latihan Pengayaan Bab 2: Ruang Vektor

Halaman ini menyajikan soal-soal latihan pengayaan Bab 2 dengan tingkat kesulitan tinggi untuk melatih kemampuan pembuktian struktur ruang vektor.

Soal Latihan Pengayaan Bab 2

✏️ Latihan Soal 1 (Irisan Subruang dim(U) + dim(W) > n)

Misalkan $V$ adalah ruang vektor berdimensi $n$ . Misalkan $U, W \leq V$ dengan $dim (U) + dim (W) > n$ . Buktikan bahwa $U \cap W \neq = {0}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gunakan Teorema Dimensi Subruang: $dim (U + W) = dim (U) + dim (W) - dim (U \cap W)$ . Karena $U + W \leq V ⟹ dim (U + W) \leq n$ . Maka $dim (U \cap W) = dim (U) + dim (W) - dim (U + W) > n - n = 0$ . Karena $dim (U \cap W) \geq 1$ , maka $U \cap W$ mengandung setidaknya satu vektor non-nol. $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Basis Polinom Lagrange)

Diberikan $V = P_{n} (R)$ dan $n + 1$ titik real berbeda $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}$ . Definisikan polinom Lagrange $L_{i} (x) = \prod_{j \neq = i} \frac{x - x _{j}}{x _{i} - x _{j}}$ . Tunjukkan bahwa ${L_{0} (x), \dots, L_{n} (x)}$ adalah basis bagi $V$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Perhatikan sifat $L_{i} (x_{k}) = δ_{ik}$ (bernilai 1 jika $i = k$ , dan 0 jika $i \neq = k$ ).
Uji bebas linear: $c_{0} L_{0} (x) + \dots + c_{n} L_{n} (x) = 0$ . Evaluasi di $x = x_{k} ⟹ c_{k} L_{k} (x_{k}) = 0 ⟹ c_{k} = 0$ untuk setiap $k$ . Maka ${L_{0}, \dots, L_{n}}$ bebas linear.
Karena terdapat $n + 1$ vektor bebas linear dan $dim (P_{n} (R)) = n + 1$ , himpunan tersebut adalah basis bagi $P_{n} (R)$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Hukum Distributif Modular Subruang)

Misalkan $W_{1}, W_{2}, W_{3} \leq V$ . Buktikan bahwa jika $W_{1} \supseteq W_{2}$ , maka:

$W_{1} \cap (W_{2} + W_{3}) = W_{2} + (W_{1} \cap W_{3})$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

( $\supseteq$ ) Jika $x \in W_{2} + (W_{1} \cap W_{3}) ⟹ x = w_{2} + w_{3}$ dengan $w_{2} \in W_{2}, w_{3} \in W_{1} \cap W_{3}$ . Karena $W_{2} \subseteq W_{1}$ , maka $w_{2} \in W_{1}$ , sehingga $x = w_{2} + w_{3} \in W_{1}$ . Sisi lain $x \in W_{2} + W_{3}$ . Maka $x \in W_{1} \cap (W_{2} + W_{3})$ .
( $\subseteq$ ) Ambil $x \in W_{1} \cap (W_{2} + W_{3}) ⟹ x \in W_{1}$ dan $x = w_{2} + w_{3}$ ( $w_{2} \in W_{2}, w_{3} \in W_{3}$ ). Maka $w_{3} = x - w_{2} \in W_{1}$ (karena $x \in W_{1}$ dan $w_{2} \in W_{2} \subseteq W_{1}$ ). Sehingga $w_{3} \in W_{1} \cap W_{3} ⟹ x = w_{2} + w_{3} \in W_{2} + (W_{1} \cap W_{3})$ . Terbukti. $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Dimensi Span Polinomial Matriks A)

Diberikan $A \in M_{n \times n} (R)$ . Misalkan $V = span {I, A, A^{2}, \dots}$ . Buktikan bahwa $dim (V) \leq n$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Berdasarkan Teorema Cayley-Hamilton, polinom karakteristik $p (λ) = det (A - λ I)$ berderajat $n$ memenuhi $p (A) = 0$ . Ini menyatakan $A^{n}$ sebagai kombinasi linear dari ${I, A, A^{2}, \dots, A^{n - 1}}$ . Induksi menunjukkan setiap $A^{k}$ ( $k \geq n$ ) juga merupakan kombinasi linear dari ${I, A, \dots, A^{n - 1}}$ . Maka $V = span {I, A, \dots, A^{n - 1}}$ , sehingga $dim (V) \leq n$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Kebebaslinearan, Basis, dan Dimensi
Sub-Topik Selanjutnya: Definisi Transformasi Linear dan Matriks Representasi →

Soal Latihan Pengayaan Bab 2: Ruang Vektor

Soal Latihan Pengayaan Bab 2

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (6)

Definisi Transformasi Linear dan Matriks Representasi

Kebebaslinearan, Basis, dan Dimensi

Fungsi Eksponensial, Logaritma Kompleks, dan Trigonometri

Limit dan Kontinuitas Fungsi Kompleks

Subgrup Normal

Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup

Diskusi & Tanya Jawab

Title