Soal Latihan Pengayaan Bab 3: Transformasi Linear

Halaman ini menyajikan soal-soal latihan pengayaan Bab 3 dengan tingkat kesulitan tinggi untuk melatih pemahaman mendalam tentang operator linear.

Soal Latihan Pengayaan Bab 3

✏️ Latihan Soal 1 (Kestabilan Kernel dan Image Ker(T^n) = Ker(T^{n+1}))

Misalkan $V$ berdimensi $n$ dan $T : V \to V$ operator linear. Buktikan bahwa $Ker (T^{n}) = Ker (T^{n + 1})$ dan $Im (T^{n}) = Im (T^{n + 1})$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Rantai inklusi: $Ker (T^{0}) \subseteq Ker (T^{1}) \subseteq \dots \subseteq Ker (T^{n}) \subseteq Ker (T^{n + 1})$ . Karena $dim (V) = n$ , rantai dimensi strictly increasing tidak bisa melebihi panjang $n$ . Maka harus terdapat $k \leq n$ sehingga $Ker (T^{k}) = Ker (T^{k + 1})$ , yang berakibat $Ker (T^{n}) = Ker (T^{n + 1})$ . Berdasarkan Teorema Rank-Nolitas: $rank (T^{n}) = n - null (T^{n}) = n - null (T^{n + 1}) = rank (T^{n + 1}) ⟹ Im (T^{n}) = Im (T^{n + 1})$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Kondisi Ker(T) \cap Im(T) = {0})

Misalkan $T : V \to V$ memenuhi $rank (T^{2}) = rank (T)$ . Buktikan bahwa $Ker (T) \cap Im (T) = {0}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Ambil $y \in Ker (T) \cap Im (T) ⟹ T (y) = 0$ dan $y = T (x)$ untuk suatu $x \in V$ . Maka $T^{2} (x) = T (T (x)) = T (y) = 0 ⟹ x \in Ker (T^{2})$ . Karena $rank (T^{2}) = rank (T) ⟹ null (T^{2}) = null (T) ⟹ Ker (T^{2}) = Ker (T)$ . Maka $x \in Ker (T) ⟹ y = T (x) = 0$ . Terbukti $Ker (T) \cap Im (T) = {0}$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Fungsional Linear dengan Kernel Sama g = cf)

Misalkan $f, g : V \to F$ adalah dua fungsional linear. Buktikan bahwa jika $Ker (f) = Ker (g)$ , maka terdapat skalar $c \in F$ sehingga $g = c f$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Jika $Ker (f) = V$ , maka $f = 0$ dan $g = 0 ⟹ g = 0 \cdot f$ .
Jika $Ker (f) \neq = V$ , pilih $v_{0} \in V$ sehingga $f (v_{0}) = 1$ . Untuk setiap $v \in V$ , perhatikan $v - f (v) v_{0} \in Ker (f)$ . Karena $Ker (f) = Ker (g) ⟹ g (v - f (v) v_{0}) = 0 ⟹ g (v) - f (v) g (v_{0}) = 0 ⟹ g (v) = g (v_{0}) f (v)$ . Pilih $c = g (v_{0})$ , maka $g = c f$ . $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Jumlah Proyeksi P1 + ... + Pk = I)

Misalkan $P_{1}, \dots, P_{k}$ adalah proyeksi pada $V$ sehingga $P_{1} + \dots + P_{k} = I$ . Buktikan bahwa $P_{i} P_{j} = 0$ untuk setiap $i \neq = j$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Ambil trace pada kedua ruas: $\sum tr (P_{i}) = tr (I) = dim (V)$ . Karena $tr (P_{i}) = rank (P_{i})$ , maka $\sum rank (P_{i}) = dim (V)$ . Sisi lain $V = \sum Im (P_{i})$ . Karena $\sum dim (Im (P_{i})) = dim (V)$ , maka penjumlahan ini adalah hasil tambah langsung $V = ⨁ Im (P_{i})$ . Akibatnya $Im (P_{j}) \subseteq Ker (P_{i})$ untuk $i \neq = j ⟹ P_{i} P_{j} = 0$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Perubahan Basis, Keserupaan Matriks, dan Operator Proyeksi
Sub-Topik Selanjutnya: Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Polinom Karakteristik →

Soal Latihan Pengayaan Bab 3: Transformasi Linear

Soal Latihan Pengayaan Bab 3

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (6)

Perubahan Basis, Keserupaan Matriks, dan Operator Proyeksi

Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Polinom Karakteristik

Fungsi Harmonik dan Harmonik Konjugat

Lintasan (Contour) di Bidang Kompleks

Grup Kuosien

Homomorfisma Grup dan Sifat Dasar

Diskusi & Tanya Jawab

Title