Operasi Matriks dan Sifat Aljabar Matriks

Pertama kita buktikan implikasi ke kanan. Diberikan bahwa $AB$ simetris, yang berarti $(AB{)}^T=AB$. Berdasarkan sifat transpose perkalian matriks, kita tahu bahwa $(AB{)}^T=B^T{A}^T$. Karena $A$ dan $B$ simetris, berlaku $A^T=A$ dan $B^T=B$, sehingga $(AB{)}^T=BA$. Akibatnya kita peroleh $BA=AB$, yang membuktikan bahwa $A$ dan $B$ saling komut.

Selanjutnya kita buktikan implikasi ke kiri. Diberikan bahwa $A$ dan $B$ saling komut, yaitu $AB=BA$. Kita hitung transpose dari $AB$ menggunakan sifat transpose perkalian, yaitu $(AB{)}^T=B^T{A}^T=BA$. Karena $BA=AB$, kita peroleh $(AB{)}^T=AB$, yang membuktikan bahwa $AB$ bersifat simetris.

Kita amati elemen-elemen pada diagonal utama dari matriks perkalian $A{A}^T$. Berdasarkan definisi perkalian matriks, elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$i$ dari $A{A}^T$ diberikan oleh

$(A{A}^T{)}_{ii}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}(A^T{)}_{ji}={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}^2$

Karena hipotesis menyatakan bahwa $A{A}^T=0$, seluruh elemen matriks $A{A}^T$ bernilai nol, khususnya elemen-elemen pada diagonal utamanya. Oleh karena itu, untuk setiap baris $i=1,2,\dots ,m$ berlaku

${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}^2=0$

Karena elemen $a_{ij}$ adalah bilangan real, jumlah kuadrat bilangan real sama dengan nol jika dan hanya jika setiap suku dalam penjumlahan tersebut bernilai nol, yaitu $a_{ij}=0$ untuk seluruh $i$ dan $j$. Terbukti bahwa $A=0$.

Menggunakan substitusi hipotesis $AB=A$ dan $BA=B$ serta sifat asosiatif perkalian matriks, kita hitung perkalian matriks $A^2$ secara langsung

$A^2=AA=(AB)A=A(BA)=AB=A.$

Dengan langkah yang serupa untuk matriks $B$, kita peroleh

$B^2=BB=(BA)B=B(AB)=BA=B.$

Dengan demikian, terbukti bahwa $A$ dan $B$ keduanya merupakan matriks idempoten.

Pilih matriks $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ dan $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Jelas bahwa matriks $A\ne 0$ dan $B\ne 0$ karena masing-masing memiliki entri bukan nol. Kita hitung hasil kali perkalian matriks tersebut

$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 0+0\cdot 1& 1\cdot 0+0\cdot 0\\ 0\cdot 0+0\cdot 1& 0\cdot 0+0\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Terbukti bahwa matriks $A$ dan $B$ merupakan pembagi nol (zero divisors) dalam aljabar matriks $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$.

Kita dapat membuktikan pernyataan ini dengan memilih matriks penguji $X$ yang spesifik. Untuk setiap pasang indeks $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$, kita definisikan matriks unit $E_{ji}$ sebagai matriks yang entri baris ke-$j$ dan kolom ke-$i$ nya bernilai 1, sedangkan seluruh entri lainnya bernilai 0.

Kita hitung elemen perkalian $A{E}_{ji}$. Elemen diagonal ke-$k$ dari $A{E}_{ji}$ bernilai nol untuk seluruh $k\ne i$, dan untuk $k=i$ nilainya adalah $a_{ij}$. Oleh karena itu, trace dari perkalian matriks tersebut adalah

$\mathrm{tr}(A{E}_{ji})=a_{ij}$

Berdasarkan hipotesis bahwa $\mathrm{tr}(AX)=0$ untuk semua matriks $X$, dengan memilih $X=E_{ji}$ kita peroleh $a_{ij}=0$ untuk setiap pasangan indeks $i$ dan $j$. Terbukti bahwa seluruh entri matriks $A$ bernilai nol, sehingga $A=0$.

Kita manfaatkan sifat-sifat determinan pada Determinan dan Sifat-Sifatnya. Hitung determinan dari kedua ruas persamaan $A^T=-A$.

Berdasarkan sifat determinan transpose, kita tahu bahwa $\det (A^T)=\det (A)$. Sementara itu, berdasarkan sifat perkalian skalar pada determinan matriks berukuran $n\times n$, kita peroleh $\det (-A)=\det ((-1)A)=(-1{)}^n\det (A)$.

Karena $n$ adalah bilangan bulat ganjil, berlaku $(-1{)}^n=-1$. Akibatnya, persamaan determinan menjadi

$\det (A)=-\det (A)⟹2\det (A)=0⟹\det (A)=0$

Terbukti bahwa determinan matriks skew-simetris berukuran ganjil selalu sama dengan nol.

Kita gunakan matriks unit $E_{ij}$ yang entrinya bernilai 1 pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$, serta bernilai 0 pada tempat lainnya.

Hitung perkalian $A{E}_{ij}$. Kolom ke-$j$ dari $A{E}_{ij}$ adalah kolom ke-$i$ dari $A$, dan kolom-kolom lainnya bernilai 0. Sementara itu, untuk $E_{ij}A$, baris ke-$i$ dari $E_{ij}A$ adalah baris ke-$j$ dari $A$, dan baris-baris lainnya bernilai 0.

Karena $A{E}_{ij}=E_{ij}A$ untuk semua pasangan $i$ dan $j$, kita bandingkan entri diagonal dan non-diagonal pada kedua ruas. Untuk $i\ne j$, membandingkan entri ke-$(i,j)$ memberikan $a_{ii}=a_{jj}$. Membandingkan entri ke-$(k,j)$ untuk $k\ne i$ memberikan $a_{kj}=0$.

Hal ini membuktikan bahwa seluruh elemen di luar diagonal utama bernilai nol ($a_{ij}=0$ untuk $i\ne j$), dan seluruh elemen pada diagonal utama bernilai sama ($a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}=c$). Terbukti $A=cI$.

Misalkan $C=AB-BA$ adalah komutator dari $A$ dan $B$. Pertama kita periksa sifat transpose dari $C$

$C^T=(AB-BA{)}^T=(AB{)}^T-(BA{)}^T=B^T{A}^T-A^T{B}^T$

Karena $A$ dan $B$ simetris ($A^T=A$ dan $B^T=B$), kita peroleh $C^T=BA-AB=-(AB-BA)=-C$. Jadi $C$ adalah matriks skew-simetris.

Selanjutnya kita hitung trace dari $C^2=C(-C^T)=-C{C}^T$. Menggunakan sifat linearitas trace, diperoleh

$\mathrm{tr}(C^2)=\mathrm{tr}(-C{C}^T)=-\mathrm{tr}(C{C}^T)$

Perhatikan bahwa elemen diagonal ke-$i$ dari $C{C}^T$ adalah ${\sum }_{j=1}^n{c}_{ij}^2$. Maka $\mathrm{tr}(C{C}^T)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{c}_{ij}^2\ge 0$.

Akibatnya, kita mendapatkan $\mathrm{tr}((AB-BA{)}^2)=-\mathrm{tr}(C{C}^T)\le 0$. Terbukti bahwa trace kuadrat komutator matriks simetris real selalu bernilai non-positif.