Deret Kuasa (Power Series) dan Radius Konvergensi

Deret kuasa adalah deret fungsi yang memiliki bentuk umum yang sangat penting dalam analisis real dan terapan:

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n} = a_{0} + a_{1} (x - c) + a_{2} (x - c)^{2} + \dots$

di mana $a_{n}$ adalah koefisien barisan bilangan real dan $c \in R$ adalah pusat deret.

1. Definisi & Radius Konvergensi

Teorema (Teorema Radius Konvergensi)

Untuk setiap deret kuasa $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ , terdapat nilai $R \in [0, \infty) \cup {\infty}$ , yang disebut radius konvergensi, sedemikian sehingga:

Deret konvergen mutlak jika $∣ x - c ∣ < R$ .
Deret divergen jika $∣ x - c ∣ > R$ .
Jika $∣ x - c ∣ = R$ , deret dapat konvergen atau divergen (harus diuji pada masing-masing titik ujung interval $x = c - R$ dan $x = c + R$ ).

Cara Menghitung Radius Konvergensi $R$

Nilai $R$ dapat ditentukan menggunakan Uji Rasio atau Uji Akar:

$\frac{1}{R} = lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} atau \frac{1}{R} = lim sup_{n \to \infty} n ∣ a_{n} ∣$

2. Sifat-Sifat Analitik Deret Kuasa

Teorema (Teorema Sifat-Sifat Deret Kuasa)

Misalkan deret kuasa $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ memiliki radius konvergensi $R > 0$ . Maka:

Konvergensi Seragam: Deret konvergen seragam pada setiap interval tertutup $[c - K, c + K]$ di mana $0 < K < R$ .
Kontinuitas: Fungsi $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}$ kontinu pada interval terbuka $(c - R, c + R)$ .
Diferensiasi Suku-demi-Suku: Deret dapat diturunkan suku-demi-suku di dalam interval konvergensinya dengan radius konvergensi $R$ yang sama: $f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} (x - c)^{n - 1} (\forall x \in (c - R, c + R))$
Integrasi Suku-demi-Suku: Deret dapat diintegralkan suku-demi-suku di dalam interval konvergensinya: $\int_{c}^{x} f (t) d t = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a _{n}}{n + 1} (x - c)^{n + 1} (\forall x \in (c - R, c + R))$

3. Contoh Pembuktian Interval Konvergensi

Contoh (Uji Konvergensi Deret Kuasa (x-3)^n / n)

Tentukan radius dan interval konvergensi dari deret kuasa:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( x - 3 ) ^{n}}{n}$

Penyelesaian:

Koefisien $a_{n} = \frac{1}{n}$ , pusat deret $c = 3$ .
Hitung limit rasio koefisien: $L = lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$
Maka radius konvergensi $R = \frac{1}{L} = 1$ . Deret konvergen mutlak untuk $∣ x - 3∣ < 1 ⟺ 2 < x < 4$ .
Uji Titik Ujung:
- Untuk $x = 4$ : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( 4 - 3 ) ^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ (Deret Harmonik, Divergen).
- Untuk $x = 2$ : $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( 2 - 3 ) ^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ (Deret Berganti Tanda Leibniz, Konvergen).
Disimpulkan interval konvergensinya adalah $[2, 4)$ . $■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Radius Konvergensi Deret Eksponensial x^n / n!)

Cari radius konvergensi dari deret kuasa $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Suku $a_{n} = \frac{1}{n !}$ .
Hitung $L = lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{n !}{( n + 1 )!} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$ .
Karena $L = 0$ , maka $R = \frac{1}{0} = \infty$ .
Deret konvergen mutlak dan seragam pada seluruh garis bilangan real $R$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Radius Konvergensi Turunan Deret Kuasa)

Misalkan $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ memiliki radius konvergensi $R$ . Berapakah radius konvergensi dari deret turunannya $\sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}$ ?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Suku deret turunan $b_{n} = (n + 1) a_{n + 1}$ .
Hitung limit rasio: $L^{'} = lim_{n \to \infty} \frac{( n + 2 ) a _{n + 2}}{( n + 1 ) a _{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{n + 2}{n + 1} \cdot lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 2}}{a _{n + 1}} = 1 \cdot L = L$
Karena $L^{'} = L$ , maka $R^{'} = \frac{1}{L ^{'}} = \frac{1}{L} = R$ .
Berdasarkan Teorema Sifat Deret Kuasa, diferensiasi suku-demi-suku tidak mengubah radius konvergensi $R$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Deret Kuasa 1 / (1 + x^2))

Gunakan deret kuasa geometris untuk menyatakan fungsi $f (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ dan tentukan interval konvergensinya.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Menggunakan deret geometri $\frac{1}{1 - t} = \sum_{n = 0}^{\infty} t^{n}$ untuk $∣ t ∣ < 1$ .
Substitusi $t = - x^{2}$ : $\frac{1}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 - ( - x ^{2} )} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- x^{2})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{2 n} = 1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \dots$
Syarat konvergensi: $∣ - x^{2} ∣ < 1 ⟺ x^{2} < 1 ⟺ ∣ x ∣ < 1$ .
Pada titik ujung $x = \pm 1$ , suku-suku $(- 1)^{n} (\pm 1)^{2 n} = (- 1)^{n}$ tidak menuju $0$ , sehingga divergen di titik ujung.
Interval konvergensinya adalah $(- 1, 1)$ . $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Teorema Abel Konvergensi Seragam di Titik Ujung)

Buktikan bahwa jika $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ konvergen di titik $x = R$ , maka deret tersebut konvergen seragam pada $[0, R]$ (Teorema Abel).

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan $R = 1$ dan $\sum a_{n}$ konvergen ke $S$ .
Tulis sisa jumlah parsial $A_{n} = \sum_{k = n}^{\infty} a_{k} \to 0$ .
Menggunakan Penjumlahan Abel (Summation by Parts) untuk $x \in [0, 1]$ : $\sum_{k = n}^{m} a_{k} x^{k} = \sum_{k = n}^{m} (A_{k} - A_{k + 1}) x^{k} = A_{n} x^{n} - A_{m + 1} x^{m} + \sum_{k = n + 1}^{m} A_{k} (x^{k} - x^{k - 1})$
Karena $x \in [0, 1]$ , $(x^{k - 1} - x^{k}) \geq 0$ dan $\sum_{k = n + 1}^{m} (x^{k - 1} - x^{k}) = x^{n} - x^{m} \leq 1$ .
Untuk $ε > 0$ , pilih $N$ sehingga $∣ A_{k} ∣ < ε$ untuk $k \geq N$ .
Diperoleh $\sum_{k = n}^{m} a_{k} x^{k} \leq ε x^{n} + ε x^{m} + ε (x^{n} - x^{m}) \leq 2 ε$ secara seragam untuk semua $x \in [0, 1]$ .
Berdasarkan Kriteria Cauchy Konvergensi Seragam, deret konvergen seragam pada $[0, R]$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Uji M-Weierstrass & Sifat Analitik Deret
Sub-Topik Selanjutnya: Pengantar Ruang Metrik (Bab 7) →

Deret Kuasa (Power Series) dan Radius Konvergensi

1. Definisi & Radius Konvergensi

Cara Menghitung Radius Konvergensi $R$

2. Sifat-Sifat Analitik Deret Kuasa

3. Contoh Pembuktian Interval Konvergensi

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Uji M-Weierstrass dan Teorema Pertukaran Limit

Diskusi & Tanya Jawab

Title