Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Aljabar Linear

Jika $A$ matriks berukuran $1999\times 2006$, maka nilai minimal $\text{rank}(A)+\text{nolitas}(A)$ adalah $\dots$

Koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2+x,x+1,x^2+1\}$ di $P_2$ adalah $\dots$

Jika $T:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ adalah pemetaan linear dan $x\in \mathbb{C}$, maka $T(x)=\dots$

Suku banyak karakteristik dari matriks $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& 5& -6\\ -7& 8& 9\end{array}\right]$ adalah $\dots$

Jika $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$, maka $A^{2016}=\dots$

Misalkan himpunan vektor $\{u_1,u_2,u_3,u_4\}$ di ${\mathbb{C}}^n$ bebas linear. Agar himpunan $\{u_1+\alpha u_2,u_2+\alpha u_3,u_3+\alpha u_4,u_4+\alpha u_1\}$ juga bebas linear, skalar $\alpha$ haruslah $\dots$

Misalkan $X=\{(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)\}$ dan $P$ adalah proyeksi ortogonal pada $X$. Matriks representasi $P$ terhadap basis baku di ruang Euclid ${\mathbb{R}}^3$ adalah $\dots$

Misalkan $a$ bilangan real sehingga matriks $\left[\begin{array}{ccc}1& a& a\\ a& 1& a\\ a& a& 1\end{array}\right]$ memiliki tiga nilai karakteristik real ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3>0$. Maka $a$ harus terletak di dalam selang $\dots$

Misalkan $x_1,x_2,$ dan $x_3$ bilangan real dengan $x_1<x_2<x_3$. Pemetaan $T:P_2\to {\mathbb{R}}^3$ didefinisikan dengan aturan $T(p(x))=\left[\begin{array}{c}p(x_1)\\ p(x_2)\\ p(x_3)\end{array}\right]$ untuk setiap $p(x)\in P_2$.

(a) Tunjukkan bahwa $T$ merupakan pemetaan linear.

(b) Periksa apakah $T$ bijektif.

Misalkan $A$ matriks ukuran $2\times 2$ yang memenuhi $\text{tr}(A^2)=[\text{tr}(A){]}^2$.

(a) Tentukan $\det (A)$.

(b) Jika $A$ tidak dapat didiagonalkan, tentukan $\text{tr}(A)$.

Misalkan $\lambda$ adalah nilai karakteristik matriks $P$ yang memenuhi $P^T=P^2$. Tentukan semua $\lambda$ yang mungkin.