Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Kombinatorika

Hitung $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)+2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)+3\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)+\cdots +n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right).$

Tentukan banyaknya bilangan bulat 7 digit yang disusun dari angka $2,2,3,4,4,4,0$.

Tentukan solusi dari $a_n=2a_{n-1}+3^n$ dengan $a_1=5$.

Berapa banyak permutasi dari huruf $ABCDEFG$ yang memuat string $BA$ dan $GF$?

Jika 7 bilangan diambil (tanpa pengembalian) dari himpunan $\{1,2,3,\dots ,15\}$, berapakah peluang jumlah tujuh bilangan tersebut genap?

Berapa banyak solusi bilangan bulat dari persamaan $x_1+x_2+x_3=20$ dengan $2<x_1<6,6<x_2<10,$ dan $0<x_3<5$?

Kartu bridge dengan 52 kartu dibagi kepada 4 orang pemain sehingga masing-masing menerima 13 kartu. Banyaknya cara yang dapat dilakukan $\dots$

Berikan koefisien $x^{80}$ pada ekspansi ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{100}$.

Misal $(x_i,y_i,z_i),i=1,2,3,\dots ,9$ adalah himpunan 9 titik berbeda dengan koordinat bulat pada ruang $xyz$. Tunjukkan bahwa titik tengah dari garis yang menghubungkan sedikitnya satu pasang dari titik-titik tersebut berkoordinat bulat.

Ada $n$ orang akan naik becak (menjadi penumpang) $r$ buah becak berlainan, dengan $n>r>1$ dan setiap becak berisi satu atau dua penumpang. Ada berapa cara memasangkan $n$ orang ke $r$ becak tersebut sehingga setiap becak berisi satu atau dua penumpang?

Tentukan rute terpendek dari kota A ke kota B.