Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Aljabar Linear

Misalkan $B$ basis bagi ruang vektor $V$ atas $F$. Misalkan $T:V\to V$ linear dan memenuhi $[T(x){]}_B=\left[\begin{array}{c}{x}_1-x_2+x_3\\ x_2\\ x_1-x_3\end{array}\right],\text{jika}[x{]}_B=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right].$ Matriks penyajian (representasi) $T$ terhadap basis $B$ adalah $[T{]}_B=\dots$

Misalkan $X=\{(1,a,a),(a,1,a),(a,a,1)\}\subseteq {\mathbb{C}}^3$. Syarat perlu dan cukup agar $X$ bergantung linear adalah $\dots$

Misalkan $V$ ruang vektor atas $F$ dan $f:V\to F$ linear. Nilai terbesar $\text{rank}(f)$ yang mungkin adalah $\dots$

Pemetaan linear $T:P_2\to P_2$ didefinisikan oleh $(T(f))(t)=t\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t},\forall f\in P_2$. Suku banyak karakteristik $T$ adalah $p(x)=\dots$

Diberikan matriks $A(x)=\left[\begin{array}{cc}x-1& 3\\ 4& x+3\end{array}\right]\in M_2(\mathbb{R})$. Nilai terkecil $\det (A(x))$ adalah $\dots$

Matriks $\left[\begin{array}{ccc}a& 1& b\\ b& a& 1\\ 1& b& a\end{array}\right]\in M_3(\mathbb{R})$ adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika $(a,b)=\dots$

Misalkan $K$ dan $L$ dua subruang dari ruang vektor $V$ atas $F$. Jika $K\ne L$ dan $\dim (K)=\dim (L)=5,$ maka dimensi subruang $K+L$ paling sedikit adalah $\dots$

Banyaknya matriks bilangan bulat $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ yang memenuhi $A^2=I$ dan $b+c=0$ adalah $\dots$

Misalkan $A\in M_n(F)$ memenuhi $A^4=0$. Tunjukkan bahwa $I+A$ memiliki balikan dan berikan $(I+A{)}^{-1}$.

Misalkan $A\in M_2(F)$. Pemetaan $T_A:M_2(F)\to M_2(F)$ didefinisikan dengan $T_A(X)=AX-XA,\forall X\in M_2(F)$.

(a) Tunjukkan bahwa $T_A$ merupakan pemetaan linear.

(b) Tunjukkan bahwa $\text{nullity}(T_A)\ge 2$.

Misalkan $V$ ruang vektor berdimensi hingga atas $F$ dan $\mathcal{L}(V,F)$ adalah himpunan semua pemetaan linear dari $V$ ke $F$. Jika $K$ subruang dari $V$, didefinisikan $K^0=\{f\in \mathcal{L}(V,F)\mid f(x)=0,\forall x\in K\}.$

Buktikan bahwa $(K\cap L{)}^0=K^0+L^0$, untuk setiap subruang $K,L$ dari $V$.