Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Aljabar Linear

Pemetaan linear $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ didefinisikan melalui $T(\alpha ,\beta )=(3\alpha -\beta ,\alpha +3\beta )$ untuk setiap $(\alpha ,\beta )\in {\mathbb{R}}^2$. Terhadap basis $\mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\}$ bagi ${\mathbb{R}}^2$, matriks penyajian (representasi) $T$ adalah $\dots$

Matriks tak singular $X\in M_n(F)$ dikatakan ortogonal jika ke-$n$ baris $X$ membentuk sebuah himpunan ortonormal. Jika $A$ ortogonal maka haruslah $\det (A)=\dots$

Untuk matriks $X=[x_{ij}]\in M_n(F)$, didefinisikan $\text{tr}(X)=\sum _{i=1}^n{x}_{ii}$. Jika $A,B\in M_n(F)$ maka $\text{tr}(AB-BA)=\dots$

Jika $E=M_n(F)$ memenuhi $E^2=E$, balikan (invers) dari matriks $I+E$ adalah $\dots$

Misalkan $U,V,W$ tiga ruang vektor atas lapangan $F$, dengan $\dim (U)=2008$ dan $\dim (V)=8002$. Misalkan $T:V\to W$ dan $S:W\to U$ pemetaan-pemetaan linear yang memenuhi $T$ satu-satu, $S$ pada dan $\text{Im}(T)=\text{Ker}(S)$, maka $\dim (W)=\dots$

Agar matriks $\left[\begin{array}{cc}1& c\\ -1& 3\end{array}\right]$ mempunyai nilai karakteristik (eigen) real dan tidak dapat didiagonalkan, maka haruslah $c=\dots$

Nilai terbesar multiplisitas geometri dari sembarang nilai karakteristik matriks real $\left[\begin{array}{ccc}2& x& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ adalah $\dots$

Banyaknya matriks bilangan bulat $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right]$ yang memenuhi $A^2+A=2I$ dan $\det (A)=4$ adalah $\dots$

Misalkan $V$ ruang vektor atas $F$ berdimensi $2m-1$ untuk suatu bilangan asli $m\ge 2$. Jika $M$ dan $N$ dua subruang dari $V$ dengan $\dim (M)=\dim (N)=m$, tunjukkan bahwa $M\cap N\ne \{0\}$.

Misalkan $A=[a_{ij}]\in M_4(\mathbb{R})$ memenuhi $a_{ij}>0$ jika $j\equiv i+1(\mathrm{mod}4)$ dan $a_{ij}=0$ jika $j\not\equiv i+1(\mathrm{mod}4).$

(a) Tunjukkan bahwa semua komponen $(I+A{)}^3$ positif.

(b) Apakah ada matriks $A$ yang memenuhi semua syarat di atas sehingga $(I+A{)}^3$ singular?