Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Aljabar Linear

Bentuk eselon baris tereduksi matriks $\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\end{array}\right]$ adalah $\dots$

Misalkan $C(\mathbb{R})$ menyatakan ruang fungsi kontinu dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$. Subruang $\{f\in C(\mathbb{R})\mid f^{\prime \prime }+f=0\}$ memiliki dimensi $\dots$

Matriks persegi $A$ memenuhi $A^3=0$. Maka matriks $A+2I$ tak singular dan $(A+2I{)}^{-1}=\dots$

Misalkan $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$. Didefinisikan pemetaan linear $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ melalui $T(x)=Ax,\forall x\in {\mathbb{R}}^3$. Bilangan positif $k$ terkecil yang memenuhi ${\mathbb{R}}^3=\text{Peta}(T^k)$ adalah $\dots$

Misalkan $P_1$ ruang polinom real berderajat paling tinggi 1 dengan hasil kali dalam $⟨p(x),q(x)⟩={\int }_0^{1}p(x)q(x)\mathrm{d}x$. Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada himpunan $\{1,x\}$ di $P_1$ akan menghasilkan himpunan ortonormal $\dots$

Misalkan $v=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],A=[vv]$ dan $K=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid Ax=v\}$. Maka $\min \{||x|{|}_2\mid x\in K\}=\dots$

Agar matriks $\left[\begin{array}{cc}w& 1\\ -1& 3\end{array}\right]$ memiliki dua nilai eigen yang sama, haruslah $w=\dots$

Contoh matriks real simetris $2\times 2$ yang semua komponennya tak nol dan semua nilai karakteristiknya negatif adalah $\dots$

Misalkan $e$ vektor di ${\mathbb{R}}^n$ yang semua komponennya 1. Tunjukkan $\det (I-e{y}^T),$ untuk sembarang $y\in {\mathbb{R}}^n$. Tentukan semua $y$ yang membuat $I-e{y}^T$ singular.

Misalkan $A$ matriks kompleks berukuran $m\times n$ dan $b\in {\mathbb{C}}^m$. Buktikan bahwa persamaan $Ax=b$ memiliki solusi jika dan hanya jika $b^{\ast }y=0,$ untuk semua $y\in {\mathbb{C}}^m$ yang memenuhi $A^{\ast }y=0$.