Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Aljabar Linear

Misalkan $W=\{f\in C[1,2]\mid {\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=a\}$. Agar $W$ merupakan subruang dari ruang vektor $C[1,2]$, haruslah $a=\dots$

Diberikan vektor-vektor $f_1(x)=e^x,f_2(x)=x{e}^x,$ dan $f_3(x)=x^k{e}^x$ di ruang vektor $C(-\infty ,\infty )$. Nilai-nilai bilangan real $k$ yang menyebabkan bebas linear adalah $\dots$

Misalkan $K=\{(x,y,z)\mid x-y+z=0\}$ dan $L=\text{span}(1,0,1)$ adalah dua subruang dari ${\mathbb{R}}^3$. Penulisan $(1,0,0)$ sebagai unsur $K\oplus L$ adalah $\dots$

Misalkan $T:P_2\to P_2$ pemetaan linear dengan definisi $T(p)(x)=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(p(x)),$ untuk setiap $p\in P_2$. Nolitas (dimensi subruang inti) $T^2$ adalah $\dots$

Jika $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ adalah vektor karakteristik matriks $\left[\begin{array}{cc}3& 2-a\\ a& 3\end{array}\right]$, maka nilai karakteristik yang bersesuaian adalah $\dots$

Misalkan $A$ adalah matriks $5\times 5$ yang memenuhi $A^{2013}=0$. Banyaknya nilai karakteristik $A$ yang berbeda adalah $\dots$

Jika $A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& -3\end{array}\right]$ maka $2A^{2013}-A^{2012}+2A^{2011}-A^{2010}-2A^{2009}-A+4I=\dots$

Pandang $P_2$ dengan hasil kali dalam $⟨p,q⟩={\int }_{-1}^{1}p(x)q(x)\mathrm{d}x$. Proses Gram-Schmidt pada $\{x,1-x\}$ menghasilkan $\dots$

Misalkan $V$ adalah ruang hasil kali dalam real. Buktikan bahwa untuk setiap $x,y\in V$ berlaku $||x+y|{|}^2+||x-y|{|}^2=2(||x|{|}^2+||y|{|}^2).$

Misalkan $A=[a_{ij}]\in {\mathbb{R}}^{2013\times 2013}$ dengan $a_{ij}=\{\begin{array}{ll}i,& \text{jika }j>i\text{ atau }j=i-1\\ 0,& \text{jika }j=1\text{ atau }j<i-1.\end{array}$ Tentukan $\det (A)$.

Diberikan ruang hasil kali dalam $P_2$ dengan hasil kali dalam $⟨p(x),q(x)⟩={\int }_{-1}^{1}p(x)q(x)\mathrm{d}x$ untuk setiap $p(x),q(x)\in P_2$. Misalkan $r(x)=\frac{1}{\sqrt{2}},s(x)=\sqrt{\frac{3}{2}}x,$ dan $t(x)=\sqrt{\frac{45}{8}}(x^2-\frac{1}{3}).$ Jika $\alpha ,\beta ,$ dan $\gamma$ berturut-turut adalah sudut antara vektor $u(x)=a{x}^2+bx+c$ dengan vektor $r(x),s(x),$ dan $t(x)$. Tentukan nilai dari ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma$.