Teorema Dasar Kalkulus (TDK I & TDK II)

Teorema Dasar Kalkulus (TDK) merupakan jembatan emas yang menghubungkan dua cabang utama kalkulus: diferensiasi (turunan) dan integrasi (luas daerah).

1. Teorema Dasar Kalkulus I (Pendiferensialan)

Teorema (Teorema Dasar Kalkulus I (TDK I))

Misalkan $f$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ . Definisikan fungsi akumulasi $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ untuk $x \in [a, b]$ .

$F$ kontinu pada $[a, b]$ .
Jika $f$ kontinu di titik $c \in [a, b]$ , maka $F$ terdiferensialkan di $c$ dan:

$F^{'} (c) = f (c)$

2. Teorema Dasar Kalkulus II (Evaluasi Antiderivatif)

Teorema (Teorema Dasar Kalkulus II (TDK II))

Jika $f$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ dan $G$ adalah antiderivatif dari $f$ pada $[a, b]$ (yaitu $G^{'} (x) = f (x)$ untuk semua $x \in [a, b]$ ), maka:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = G (b) - G (a)$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Turunan Invers Fungsi Integral)

Misalkan $f (x) = \int_{0}^{x} 1 + t^{4} d t$ . Tentukan nilai turunan fungsi inversnya $(f^{- 1})^{'} (0)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Berdasarkan TDK I, karena $g (t) = 1 + t^{4}$ kontinu, maka $f^{'} (x) = 1 + x^{4}$ .
Perhatikan $f (0) = \int_{0}^{0} 1 + t^{4} d t = 0 ⟹ f^{- 1} (0) = 0$ .
Berdasarkan rumus turunan fungsi invers: $(f^{- 1})^{'} (0) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( 0 ))} = \frac{1}{f ^{'} ( 0 )}$
Hitung $f^{'} (0) = 1 + 0^{4} = 1$ .
Diperoleh $(f^{- 1})^{'} (0) = \frac{1}{1} = 1$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Integral Riemann & Jumlah Darboux
Sub-Topik Selanjutnya: Deret Takhingga & Uji Konvergensi (Bab 6) →

Teorema Dasar Kalkulus (TDK I & TDK II)

1. Teorema Dasar Kalkulus I (Pendiferensialan)

2. Teorema Dasar Kalkulus II (Evaluasi Antiderivatif)

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (5)

Deret Takhingga dan Uji Konvergensi

Integral Riemann dan Jumlah Darboux

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title