Uji M-Weierstrass dan Teorema Pertukaran Limit

Teorema pertukaran limit menetapkan kondisi presisi di mana sifat-sifat analitik (kekontinuan, keterintegralan, turunan) dari suku-suku barisan dan deret fungsi $(f_{n})$ diwariskan secara utuh kepada fungsi limit $f$ .

1. Teorema Pertukaran Limit

Teorema (Teorema 6.3.1 (Pelestarian Kekontinuan))

Misalkan $(f_{n})$ adalah barisan fungsi kontinu pada $A \subseteq R$ yang konvergen seragam ke $f$ pada $A$ . Maka $f$ kontinu pada $A$ .

Penerapan Kontraposisi: Jika setiap $f_{n}$ kontinu namun fungsi limit $f$ diskontinu, maka konvergensi tersebut tidak seragam.

Teorema (Teorema 6.3.2 (Pertukaran Limit dan Integral))

Misalkan $f_{n}$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ untuk setiap $n \in N$ . Jika $(f_{n})$ konvergen seragam ke $f$ pada $[a, b]$ , maka $f$ terintegralkan Riemann pada $[a, b]$ dan berlaku:

$lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} (lim_{n \to \infty} f_{n} (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Teorema (Teorema 6.3.3 (Pertukaran Limit dan Turunan))

Misalkan $(f_{n})$ terdiferensialkan pada $[a, b]$ sedemikian sehingga:

Terdapat setidaknya satu titik $x_{0} \in [a, b]$ sehingga $(f_{n} (x_{0}))$ konvergen.
Barisan turunan $(f_{n}^{'})$ konvergen seragam ke suatu fungsi $g$ pada $[a, b]$ .

Maka $(f_{n})$ konvergen seragam ke suatu fungsi $f$ pada $[a, b]$ , di mana $f$ terdiferensialkan dan:

$f^{'} (x) = g (x) = lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x)$

2. Contoh Kegagalan Pertukaran Turunan Tanpa Konvergensi Seragam

Contoh (Kegagalan Pertukaran Turunan)

Misalkan $f_{n} (x) = \frac{s i n ( n x )}{n}$ . Tunjukkan bahwa $lim f_{n} (x) = 0$ , tetapi $lim f_{n}^{'} (x)$ tidak selalu sama dengan turunan dari fungsi limitnya.

Penyelesaian:

Untuk setiap $x \in R$ , $∣ f_{n} (x) ∣ \leq \frac{1}{n}$ , sehingga $(f_{n})$ konvergen seragam ke $f (x) = 0$ . Turunan fungsi limitnya adalah $f^{'} (x) = 0$ .
Namun turunan tiap suku adalah $f_{n}^{'} (x) = n cos (n x)$ .
Evaluasi di $x = 0$ : $lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (0) = lim_{n \to \infty} n = \infty$ .
Jadi $lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} (x) \neq = f^{'} (x)$ . Hal ini terjadi karena barisan turunan $(f_{n}^{'})$ tidak konvergen seragam. $■$

3. Deret Fungsi & Uji M-Weierstrass

Definisi (Konvergensi Seragam Deret Fungsi)

Deret fungsi $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ dikatakan konvergen seragam ke $f (x)$ pada $A$ jika barisan jumlah parsialnya $S_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} f_{k} (x)$ konvergen seragam ke $f$ pada $A$ .

Teorema (Teorema 6.4.2 (Uji M-Weierstrass))

Misalkan $(f_{n})$ adalah barisan fungsi pada $A$ dan terdapat barisan konstanta positif $(M_{n})$ sedemikian sehingga:

$∣ f_{n} (x) ∣ \leq M_{n}$ untuk setiap $x \in A$ dan $n \in N$ .
Deret angka $\sum_{n = 1}^{\infty} M_{n}$ konvergen.

Maka deret fungsi $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)$ konvergen mutlak dan seragam pada $A$ .

Sifat-Sifat Deret Fungsi Terintegrasi & Terdiferensialisasi

Jika $\sum f_{n}$ konvergen seragam ke $f$ pada $[a, b]$ :

Jika setiap $f_{n}$ kontinu, maka $f$ kontinu.
Integrasi Suku-demi-Suku: $\int_{a}^{b} (\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x$ .
Diferensiasi Suku-demi-Suku: Jika $f_{n}^{'}$ kontinu dan $\sum f_{n}^{'}$ konvergen seragam, maka $\frac{d}{d x} (\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}^{'} (x)$ .

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Uji M-Weierstrass Deret Cosinus)

Buktikan bahwa deret fungsi $f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c o s ( n x )}{n ^{2}}$ kontinu pada $R$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Untuk setiap $x \in R$ , $\frac{c o s ( n x )}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}$ .
Pilih $M_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ . Deret $p$ dengan $p = 2 > 1$ yaitu $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ konvergen.
Berdasarkan Uji M-Weierstrass, deret konvergen seragam pada $R$ .
Karena setiap suku $f_{n} (x) = \frac{c o s ( n x )}{n ^{2}}$ kontinu, berdasarkan Teorema Pelestarian Kekontinuan, fungsi jumlah $f (x)$ kontinu pada $R$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Integrasi Suku-demi-Suku dan Deret Logaritma)

Gunakan integrasi suku-demi-suku pada deret geometri untuk menunjukkan bahwa untuk $∣ x ∣ < 1$ :

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n} = - ln (1 - x)$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Untuk $∣ t ∣ < 1$ , deret geometri $\frac{1}{1 - t} = \sum_{n = 0}^{\infty} t^{n} = 1 + t + t^{2} + \dots$ konvergen seragam pada setiap $[- K, K]$ dengan $0 < K < 1$ .
Integralkan suku-demi-suku dari $0$ sampai $x$ : $\int_{0}^{x} \frac{1}{1 - t} d t = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} d t$
Ruas kiri: $[- ln (1 - t)]_{0}^{x} = - ln (1 - x)$ .
Ruas kanan: $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} = \sum_{m = 1}^{\infty} \frac{x ^{m}}{m}$ .
Diperoleh $- ln (1 - x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ untuk $∣ x ∣ < 1$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Konvergensi Seragam Barisan & Deret Fungsi
Sub-Topik Selanjutnya: Deret Kuasa (Power Series) →

Uji M-Weierstrass dan Teorema Pertukaran Limit

1. Teorema Pertukaran Limit

2. Contoh Kegagalan Pertukaran Turunan Tanpa Konvergensi Seragam

3. Deret Fungsi & Uji M-Weierstrass

Sifat-Sifat Deret Fungsi Terintegrasi & Terdiferensialisasi

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (1 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (5)

Deret Kuasa (Power Series) dan Radius Konvergensi

Konvergensi Seragam Barisan dan Deret Fungsi

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Pengantar Ruang Metrik dan Topologi General

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Diskusi & Tanya Jawab

Title