Teorema Rouché dan Lokasi Akar

Teorema Rouché merupakan alat topologi yang sangat kuat untuk menentukan jumlah akar polinomial di dalam suatu kontur tanpa perlu menghitung nilai akarnya.

1. Pernyataan Teorema Rouché

Teorema (Teorema Rouché)

Misalkan $f$ dan $g$ analitik di dalam dan pada kontur tertutup sederhana $C$ . Jika $∣ g (z) ∣ < ∣ f (z) ∣$ untuk semua $z$ pada $C$ , maka $f (z)$ dan $f (z) + g (z)$ memiliki jumlah akar yang sama di dalam $C$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Hitung Akar z^7 - 4z^3 + z - 1 di dalam |z| < 1)

Tentukan banyaknya akar dari $P (z) = z^{7} - 4 z^{3} + z - 1$ di dalam lingkaran satuan $∣ z ∣ < 1$ .

Latihan Soal Section 6.2

✏️ Latihan Soal 1 (Akar z^5 + z + 1 = 0 di Dalam |z| = 3/2)

Tunjukkan bahwa semua akar dari $z^{5} + z + 1 = 0$ berada di dalam lingkaran $∣ z ∣ = 3/2$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Pilih $f (z) = z^{5}$ dan $g (z) = z + 1$ . Pada $∣ z ∣ = 3/2$ :

$∣ f (z) ∣ = (3/2)^{5} = 243/32 = 7.59375$ .
$∣ g (z) ∣ \leq 3/2 + 1 = 5/2 = 2.5$ . Karena $∣ g (z) ∣ < ∣ f (z) ∣$ ( $2.5 < 7.59375$ ), $f (z) + g (z)$ memiliki 5 akar di dalam $∣ z ∣ < 3/2$ . Karena polinomial derajat 5 total memiliki 5 akar, maka seluruh akarnya berada di dalam $∣ z ∣ = 3/2$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Teorema Liouville dan Aplikasi
Sub-Topik Selanjutnya: Soal Latihan Bab 6: Teorema Liouville & Rouché →

1. Pernyataan Teorema Rouché

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 6.2

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (5 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (6)

Soal Latihan Bab 6: Teorema Liouville & Rouché

Teorema Liouville dan Aplikasi

Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Kompleks

Diskusi & Tanya Jawab

Title