Teorema Liouville dan Aplikasi

Teorema Liouville memberikan batasan bahwa fungsi seluruh (entire) yang terbatas pada seluruh bidang kompleks haruslah konstan.

1. Pernyataan Teorema Liouville

Teorema (Teorema Liouville)

Jika $f (z)$ adalah fungsi entire (analitik di seluruh $C$ ) dan terbatas (terdapat $M > 0$ sehingga $∣ f (z) ∣ \leq M$ untuk semua $z \in C$ ), maka $f (z)$ adalah konstanta.

Aplikasi Penting: Teorema Dasar Aljabar

Setiap polinomial derajat $n \geq 1$ memiliki setidaknya satu akar kompleks. Jika $P (z)$ tidak memiliki akar, maka $1/ P (z)$ menjadi fungsi entire yang terbatas, sehingga konstan (kontradiksi).

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Fungsi Entire dengan Re(f(z)) <= M)

Misalkan $f$ adalah fungsi entire sedemikian sehingga $Re (f (z)) \leq M$ untuk semua $z \in C$ . Buktikan bahwa $f$ adalah konstanta.

Latihan Soal Section 6.1

✏️ Latihan Soal 1 (Fungsi entire dengan |f(z)| <= A|z|^n)

Misalkan $f$ entire dan $∣ f (z) ∣ \leq A ∣ z ∣^{n}$ untuk $∣ z ∣ \geq R$ . Buktikan bahwa $f$ adalah polinomial berderajat paling tinggi $n$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gunakan estimasi Cauchy untuk turunan ke- $(n + 1)$ : $∣ f^{(n + 1)} (0) ∣ \leq \frac{( n + 1 )! M ( r )}{r ^{n + 1}} \leq \frac{( n + 1 )! A r ^{n}}{r ^{n + 1}} = \frac{( n + 1 )! A}{r}$ . Saat $r \to \infty$ , $f^{(n + 1)} (0) = 0$ . Begitu pula seluruh turunan ke- $k$ ( $k > n$ ) bernilai 0. Maka deret Taylor $f (z)$ berhenti di derajat $n$ , sehingga $f (z)$ adalah polinomial berderajat $\leq n$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Latihan Soal Bab 5: Deret dan Residu
Sub-Topik Selanjutnya: Teorema Rouché dan Lokasi Akar →

1. Pernyataan Teorema Liouville

Aplikasi Penting: Teorema Dasar Aljabar

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 6.1

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (8 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (8)

Latihan Soal Bab 5: Deret dan Residu

Teorema Rouché dan Lokasi Akar

Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title