Fungsi Eksponensial, Logaritma Kompleks, dan Trigonometri

Fungsi transendental real seperti eksponensial, logaritma, dan trigonometri dapat diperluas secara alamiah ke domain kompleks.

1. Definisi Fungsi Transendental Kompleks

Definisi (Fungsi Eksponensial & Logaritma Kompleks)

Eksponensial: $e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} (cos y + i sin y)$ (periodik dengan periode $2 π i$ ).
Logaritma Utama: $Log z = ln ∣ z ∣ + i Arg z$ ( $- π < Arg z \leq π$ ).

Definisi (Fungsi Trigonometri & Hiperbolik)

$sin z = \frac{e ^{i z} - e ^{- i z}}{2 i}$ , $cos z = \frac{e ^{i z} + e ^{- i z}}{2}$ .
$sinh z = \frac{e ^{z} - e ^{- z}}{2}$ , $cosh z = \frac{e ^{z} + e ^{- z}}{2}$ .

Contoh Soal & Pembahasan

Contoh (Hitung Logaritma Utama Log(1-i))

Hitung nilai dari $Log (1 - i)$ .

Latihan Soal Section 2.3

✏️ Latihan Soal 1 (Nilai Utama i^i)

Tentukan nilai utama dari $i^{i}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Gunakan definisi $z^{c} = e^{c Log z}$ . $Log (i) = ln ∣ i ∣ + i Arg (i) = 0 + i \frac{π}{2} = i \frac{π}{2}$ . $i^{i} = e^{i \cdot (iπ /2)} = e^{- π /2} \approx 0.20788$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Solusi Persamaan sin z = 2)

Tentukan semua akar dari persamaan $sin z = 2$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: $\frac{e ^{i z} - e ^{- i z}}{2 i} = 2 ⟹ e^{2 i z} - 4 i e^{i z} - 1 = 0$ . Misalkan $u = e^{i z} ⟹ u^{2} - 4 i u - 1 = 0 ⟹ u = \frac{4 i \pm - 16 + 4}{2} = (2 \pm 3) i$ . $i z = lo g ((2 \pm 3) i) = ln (2 \pm 3) + i (π /2 + 2 k π)$ . Maka $z = (\frac{π}{2} + 2 k π) - i ln (2 \pm 3)$ ( $k \in Z$ ). $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Pemetaan oleh Fungsi Elementer dan Transformasi Mobius
Sub-Topik Selanjutnya: Latihan Soal Bab 2: Fungsi Kompleks dan Pemetaan →

Fungsi Eksponensial, Logaritma Kompleks, dan Trigonometri

1. Definisi Fungsi Transendental Kompleks

Contoh Soal & Pembahasan

Latihan Soal Section 2.3

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (12 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (14)

Latihan Soal Bab 2: Fungsi Kompleks dan Pemetaan

Pemetaan oleh Fungsi Elementer dan Transformasi Mobius

Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Kompleks

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Kompleks

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2019 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2022 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2024 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title