Barisan Cauchy dan Kriteria Konvergensi Cauchy

Dalam pengujian Limit Barisan dan Konvergensi, kita sering kali dihadapkan pada kendala praktis: definisi formal $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ mengharuskan kita mengetahui atau menebak nilai limit $x$ terlebih dahulu.

Kriteria Konvergensi Cauchy memecahkan hambatan ini secara fundamental. Kriteria ini memungkinkan kita untuk menguji apakah suatu barisan konvergen atau tidak hanya dengan memeriksa perilaku internal suku-suku barisan itu sendiri—yaitu apakah suku-suku yang berindeks besar saling mendekat satu sama lain—tanpa memerlukan informasi awal mengenai nilai kandidat limitnya.

1. Definisi Formal Barisan Cauchy

Definisi (Barisan Cauchy)

Suatu barisan bilangan real $(x_{n})_{n = 1}^{\infty}$ disebut barisan Cauchy jika untuk setiap $ε > 0$ , terdapat indeks $H \in N$ sedemikian sehingga untuk semua $n, m \geq H$ , berlaku:

$∣ x_{n} - x_{m} ∣ < ε$

Intuisi Geometris: Secara intuitif, untuk sebarang tingkat ketelitian $ε > 0$ yang sangat kecil, kita selalu dapat menemukan ekor barisan (mulai dari suku ke- $H$ ) di mana jarak antara sebarang dua suku $x_{n}$ dan $x_{m}$ di dalam ekor tersebut tidak pernah melebihi $ε$ .

2. Contoh Pembuktian Barisan Cauchy

Contoh (Pembuktian Formal Barisan x_n = 1/n)

Buktikan secara langsung dari definisi bahwa barisan $x_{n} = \frac{1}{n}$ merupakan barisan Cauchy.

Penyelesaian:

Diberikan sebarang $ε > 0$ .
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan $m \geq n \geq H$ . Kita perkirakan selisih $∣ x_{n} - x_{m} ∣$ :

$∣ x_{n} - x_{m} ∣ = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}$

Agar $\frac{2}{n} < ε$ , kita memerlukan $n > \frac{2}{ε}$ .
Berdasarkan Sifat Archimedes, terdapat $H \in N$ sehingga $H > \frac{2}{ε}$ .
Akibatnya, untuk sebarang $n, m \geq H$ :

$∣ x_{n} - x_{m} ∣ \leq \frac{2}{n} \leq \frac{2}{H} < ε$

Terbukti bahwa $x_{n} = \frac{1}{n}$ adalah barisan Cauchy. $■$

3. Teorema Keterbatasan Barisan Cauchy

Sebelum membuktikan teorema utama konvergensi, kita perlu membuktikan bahwa setiap barisan Cauchy tidak mungkin menuju ke takhingga (selalu terbatas).

Teorema (Keterbatasan Barisan Cauchy)

Setiap barisan Cauchy $(x_{n})$ di $R$ merupakan barisan yang terbatas.

Bukti:

Ambil $ε = 1$ . Karena $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy, terdapat $H \in N$ sedemikian sehingga untuk semua $n, m \geq H$ :

$∣ x_{n} - x_{m} ∣ < 1$

Khususnya, jika kita pilih $m = H$ , maka untuk semua $n \geq H$ :

$∣ x_{n} - x_{H} ∣ < 1 ⟹ ∣ x_{n} ∣ = ∣ (x_{n} - x_{H}) + x_{H} ∣ \leq ∣ x_{n} - x_{H} ∣ + ∣ x_{H} ∣ < ∣ x_{H} ∣ + 1$

Untuk mengontrol suku-suku sebelum $H$ (yaitu $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{H - 1}$ ), definisikan batas atas $M$ sebagai:

$M = max {∣ x_{1} ∣, ∣ x_{2} ∣, \dots, ∣ x_{H - 1} ∣, ∣ x_{H} ∣ + 1}$

Dengan demikian, untuk setiap $n \in N$ , berlaku $∣ x_{n} ∣ \leq M$ .

Terbukti bahwa barisan $(x_{n})$ terbatas. $■$

4. Teorema Utama: Kriteria Konvergensi Cauchy & Kelengkapan $R$

Teorema (Kriteria Konvergensi Cauchy)

Suatu barisan bilangan real $(x_{n})$ konvergen di $R$ jika dan hanya jika $(x_{n})$ merupakan barisan Cauchy.

Bukti (Dua Arah):

Arah Pertama ( $⟹$ ): Konvergen $⟹$ Cauchy

Misalkan $(x_{n})$ konvergen ke titik limit $x \in R$ .

Diberikan $ε > 0$ .
Berdasarkan definisi konvergensi pada Limit Barisan dan Konvergensi, terdapat $H \in N$ sedemikian sehingga untuk setiap $k \geq H$ :

$∣ x_{k} - x ∣ < \frac{ε}{2}$

Untuk sebarang $n, m \geq H$ , gunakan ketaksamaan segitiga:

$∣ x_{n} - x_{m} ∣ = ∣ (x_{n} - x) + (x - x_{m}) ∣ \leq ∣ x_{n} - x ∣ + ∣ x_{m} - x ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

Maka $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy.

Arah Kedua ( $⟸$ ): Cauchy $⟹$ Konvergen

Misalkan $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy di $R$ . Kita harus membuktikan $(x_{n})$ konvergen ke suatu $x \in R$ .

Langkah 1 (Keterbatasan): Berdasarkan Teorema Keterbatasan Barisan Cauchy di atas, $(x_{n})$ adalah barisan yang terbatas.
Langkah 2 (Subbarisan Konvergen): Berdasarkan Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass, setiap barisan terbatas di $R$ memiliki subbarisan $(x_{n_{k}})_{k = 1}^{\infty}$ yang konvergen ke suatu titik $x \in R$ . Artinya:

$lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = x$

Langkah 3 (Seluruh Barisan Konvergen ke $x$ ): Diberikan $ε > 0$ .
- Karena $(x_{n})$ Cauchy, terdapat $H_{1} \in N$ sehingga untuk $n, m \geq H_{1}$ : $∣ x_{n} - x_{m} ∣ < \frac{ε}{2}$
- Karena $x_{n_{k}} \to x$ , terdapat $K \in N$ sehingga untuk $k \geq K$ : $∣ x_{n_{k}} - x ∣ < \frac{ε}{2}$
- Pilih indeks subbarisan $n_{k}$ dengan $k \geq K$ sedemikian sehingga $n_{k} \geq H_{1}$ (hal ini selalu memungkinkan karena $n_{k} \geq k$ ).
- Maka untuk setiap $n \geq H_{1}$ :

$∣ x_{n} - x ∣ \leq ∣ x_{n} - x_{n_{k}} ∣ + ∣ x_{n_{k}} - x ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

Terbukti bahwa $lim_{n \to \infty} x_{n} = x$ . $■$

5. Konsep Kelengkapan: Mengapa $Q$ Tidak Lengkap?

Kriteria Konvergensi Cauchy menegaskan bahwa sistem bilangan real $R$ memiliki sifat Kelengkapan (Completeness).

Di dalam $R$ : Setiap barisan Cauchy pasti konvergen ke suatu titik di dalam $R$ .
Di dalam $Q$ (Bilangan Rasional): Sifat ini gagal. Terdapat barisan Cauchy di $Q$ yang suku-sukunya semuanya rasional, tetapi titik limitnya adalah bilangan irasional (tidak berada di $Q$ ).

Contoh (Barisan Cauchy Rasional yang Tidak Konvergen di Q)

Tinjau barisan rekursif $x_{1} = 1.4$ dan $x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{2}{x _{n}})$ .

Penyelesaian: Setiap suku $x_{n} \in Q$ . Barisan ini merupakan barisan Cauchy di $Q$ . Namun di dalam $R$ , $x_{n} \to 2$ . Karena $2 \in / Q$ , barisan Cauchy ini tidak memiliki limit di dalam $Q$ .

Hal ini membuktikan bahwa himpunan bilangan rasional $Q$ tidak lengkap, sedangkan $R$ adalah ruang metrik lengkap. Sifat ini berkaitan erat dengan Sifat Kelengkapan, Supremum dan Infimum. $■$

6. Kriteria Barisan Kontraktif (Contraction Mapping)

Salah satu aplikasi paling praktis untuk membuktikan barisan Cauchy adalah kriteria kontraktif.

Teorema (Teorema Barisan Kontraktif)

Suatu barisan $(x_{n})$ disebut kontraktif jika terdapat konstanta $C$ dengan $0 < C < 1$ sedemikian sehingga untuk semua $n \in N$ :

$∣ x_{n + 2} - x_{n + 1} ∣ \leq C ∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣$

Setiap barisan kontraktif di $R$ pasti merupakan barisan Cauchy, dan oleh karena itu pasti konvergen.

Bukti:

Dengan induksi matematika, selisih suku berturutan memenuhi: $∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣ \leq C^{n - 1} ∣ x_{2} - x_{1} ∣$
Untuk $m > n \geq H$ , gunakan ketaksamaan segitiga: $∣ x_{m} - x_{n} ∣ \leq \sum_{k = n}^{m - 1} ∣ x_{k + 1} - x_{k} ∣ \leq \sum_{k = n}^{m - 1} C^{k - 1} ∣ x_{2} - x_{1} ∣ = ∣ x_{2} - x_{1} ∣ C^{n - 1} \sum_{j = 0}^{m - n - 1} C^{j}$
Gunakan rumus jumlah deret geometri takhingga ( $\sum_{j = 0}^{\infty} C^{j} = \frac{1}{1 - C}$ untuk $0 < C < 1$ ): $∣ x_{m} - x_{n} ∣ < \frac{∣ x _{2} - x _{1} ∣}{1 - C} C^{n - 1}$
Karena $0 < C < 1$ , $lim_{n \to \infty} C^{n - 1} = 0$ . Diberikan $ε > 0$ , kita dapat memilih $H \in N$ cukup besar sehingga $\frac{∣ x _{2} - x _{1} ∣}{1 - C} C^{H - 1} < ε$ . Maka $∣ x_{m} - x_{n} ∣ < ε$ untuk semua $m > n \geq H$ .

Terbukti $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy. $■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Sifat Aljabar Barisan Cauchy)

Misalkan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ adalah dua barisan Cauchy di $R$ . Buktikan secara langsung dari definisi bahwa barisan jumlah $(x_{n} + y_{n})$ juga merupakan barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Diberikan $ε > 0$ .
Karena $(x_{n})$ Cauchy, terdapat $H_{1} \in N$ sehingga untuk $n, m \geq H_{1}$ : $∣ x_{n} - x_{m} ∣ < \frac{ε}{2}$
Karena $(y_{n})$ Cauchy, terdapat $H_{2} \in N$ sehingga untuk $n, m \geq H_{2}$ : $∣ y_{n} - y_{m} ∣ < \frac{ε}{2}$
Pilih $H = max (H_{1}, H_{2})$ . Maka untuk semua $n, m \geq H$ : $∣ (x_{n} + y_{n}) - (x_{m} + y_{m}) ∣ = ∣ (x_{n} - x_{m}) + (y_{n} - y_{m}) ∣ \leq ∣ x_{n} - x_{m} ∣ + ∣ y_{n} - y_{m} ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

Terbukti $(x_{n} + y_{n})$ adalah barisan Cauchy. $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Konvergensi Subbarisan pada Barisan Cauchy)

Misalkan $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy di $R$ . Buktikan bahwa jika $(x_{n})$ memuat subbarisan $(x_{n_{k}})$ yang konvergen ke $L$ , maka seluruh barisan $(x_{n})$ pasti konvergen ke $L$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Diberikan $ε > 0$ .
Karena $(x_{n})$ Cauchy, terdapat $H \in N$ sedemikian sehingga untuk semua $n, m \geq H$ : $∣ x_{n} - x_{m} ∣ < \frac{ε}{2}$
Karena $x_{n_{k}} \to L$ , terdapat $K \in N$ sedemikian sehingga untuk semua $k \geq K$ : $∣ x_{n_{k}} - L ∣ < \frac{ε}{2}$
Pilih indeks $k_{0} \geq K$ sedemikian sehingga $n_{k_{0}} \geq H$ .
Maka untuk sebarang $n \geq H$ , ambil $m = n_{k_{0}} \geq H$ : $∣ x_{n} - L ∣ \leq ∣ x_{n} - x_{n_{k_{0}}} ∣ + ∣ x_{n_{k_{0}}} - L ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

Terbukti $lim_{n \to \infty} x_{n} = L$ . $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Uji Barisan Jumlah Parsial Harmonik (Bukan Cauchy))

Buktikan bahwa barisan $x_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ bukan merupakan barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Untuk membuktikan $(x_{n})$ bukan Cauchy, kita harus menunjukkannya dengan negasi definisi: terdapat $ε_{0} > 0$ sedemikian sehingga untuk sebarang $H \in N$ , terdapat $n, m \geq H$ dengan $∣ x_{n} - x_{m} ∣ \geq ε_{0}$ .
Pilih $ε_{0} = \frac{1}{2}$ . Untuk sebarang $n \in N$ , ambil $m = 2 n > n$ : $∣ x_{2 n} - x_{n} ∣ = (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 n}) - (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n}$
Terdapat $n$ suku pada penjumlahan di atas, dan suku terkecilnya adalah $\frac{1}{2 n}$ . Maka: $∣ x_{2 n} - x_{n} ∣ \geq n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} = ε_{0}$
Karena selisih $∣ x_{2 n} - x_{n} ∣$ tidak pernah dapat dibuat lebih kecil dari $1/2$ berapapun besarnya indeks $n$ , maka barisan $(x_{n})$ bukan barisan Cauchy (dan akibatnya tidak konvergen). $■$

✏️ Latihan Soal 4 (Uji Barisan Deret Eksponensial (Barisan Cauchy))

Buktikan bahwa barisan $x_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !} = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \dots + \frac{1}{n !}$ merupakan barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Untuk $m > n$ : $∣ x_{m} - x_{n} ∣ = \frac{1}{( n + 1 )!} + \frac{1}{( n + 2 )!} + \dots + \frac{1}{m !}$
Perhatikan bahwa untuk $k \geq n + 1$ , berlaku $k! \geq 2^{k - 1}$ . Maka: $\frac{1}{k !} \leq \frac{1}{2 ^{k - 1}}$
Substitusi ke dalam selisih: $∣ x_{m} - x_{n} ∣ \leq \frac{1}{2 ^{n}} + \frac{1}{2 ^{n + 1}} + \dots + \frac{1}{2 ^{m - 1}} = \frac{1}{2 ^{n}} (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2 ^{m - n - 1}}) < \frac{1}{2 ^{n}} \cdot 2 = \frac{1}{2 ^{n - 1}}$
Diberikan $ε > 0$ , pilih $H \in N$ sehingga $\frac{1}{2 ^{H - 1}} < ε$ . Maka untuk $m > n \geq H$ : $∣ x_{m} - x_{n} ∣ < \frac{1}{2 ^{n - 1}} \leq \frac{1}{2 ^{H - 1}} < ε$

Terbukti $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy (konvergen ke bilangan $e$ ). $■$

✏️ Latihan Soal 5 (Konvergensi Barisan Rekursif Kontraktif)

Diberikan barisan rekursif $x_{1} = 1$ dan $x_{n + 1} = \frac{1}{2 + x _{n}}$ untuk $n \geq 1$ . Buktikan bahwa $(x_{n})$ konvergen dan hitung nilai limitnya.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Langkah 1 (Uji Kontraksi): Perhatikan selisih dua suku berturutan: $∣ x_{n + 2} - x_{n + 1} ∣ = \frac{1}{2 + x _{n + 1}} - \frac{1}{2 + x _{n}} = \frac{∣ x _{n + 1} - x _{n} ∣}{( 2 + x _{n + 1} ) ( 2 + x _{n} )}$
Karena $x_{1} = 1 > 0$ , secara induksi $x_{n} > 0$ untuk semua $n$ . Maka $2 + x_{n} > 2 ⟹ \frac{1}{2 + x _{n}} < \frac{1}{2}$ . $∣ x_{n + 2} - x_{n + 1} ∣ \leq \frac{1}{4} ∣ x_{n + 1} - x_{n} ∣$
Karena $C = 1/4 < 1$ , $(x_{n})$ adalah barisan kontraktif. Berdasarkan Teorema Barisan Kontraktif, $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy dan pasti konvergen ke suatu $x \in R$ .
Langkah 2 (Hitung Limit): Ambil limit $n \to \infty$ pada kedua ruas persamaan rekursif $x_{n + 1} = \frac{1}{2 + x _{n}}$ : $x = \frac{1}{2 + x} ⟹ x^{2} + 2 x - 1 = 0$
Solusi persamaan kuadrat: $x = \frac{- 2 \pm 4 + 4}{2} = - 1 \pm 2$ . Karena $x_{n} > 0$ , limit haruslah non-negatif: $x = 2 - 1$ . $■$

✏️ Latihan Soal 6 (Barisan Alternating Harmonik Adalah Cauchy)

Buktikan bahwa barisan $x_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{( - 1 ) ^{k - 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n}$ merupakan barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Berdasarkan sifat deret berganti tanda (alternating series), untuk $m > n$ : $∣ x_{m} - x_{n} ∣ = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1} + \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n + 2} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{m - 1}}{m}$
Suku-suku deret ini berkurang secara monoton $\frac{1}{k + 1} < \frac{1}{k}$ dan menuju nol. Jumlah parsial deret berganti tanda terikat oleh suku pertamanya: $∣ x_{m} - x_{n} ∣ \leq \frac{1}{n + 1}$
Diberikan $ε > 0$ , pilih $H \in N$ dengan $H > \frac{1}{ε}$ . Maka untuk $m > n \geq H$ : $∣ x_{m} - x_{n} ∣ \leq \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{H} < ε$

Terbukti $(x_{n})$ adalah barisan Cauchy (konvergen ke $ln 2$ ). $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Subbarisan & Teorema Bolzano-Weierstrass
Sub-Topik Selanjutnya: Limit Fungsi (Bab 3) →

Barisan Cauchy dan Kriteria Konvergensi Cauchy

1. Definisi Formal Barisan Cauchy

2. Contoh Pembuktian Barisan Cauchy

3. Teorema Keterbatasan Barisan Cauchy

4. Teorema Utama: Kriteria Konvergensi Cauchy & Kelengkapan $R$

Arah Pertama ( $⟹$ ): Konvergen $⟹$ Cauchy

Arah Kedua ( $⟸$ ): Cauchy $⟹$ Konvergen

5. Konsep Kelengkapan: Mengapa $Q$ Tidak Lengkap?

6. Kriteria Barisan Kontraktif (Contraction Mapping)

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (7 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (8)

Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass

Limit Fungsi dan Kriteria Barisan

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title

1. Definisi Formal Barisan Cauchy

2. Contoh Pembuktian Barisan Cauchy

3. Teorema Keterbatasan Barisan Cauchy

4. Teorema Utama: Kriteria Konvergensi Cauchy & Kelengkapan R

Arah Pertama (⟹): Konvergen ⟹ Cauchy

Arah Kedua (⟸): Cauchy ⟹ Konvergen

5. Konsep Kelengkapan: Mengapa Q Tidak Lengkap?

6. Kriteria Barisan Kontraktif (Contraction Mapping)

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (7 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (8)

Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass

Limit Fungsi dan Kriteria Barisan

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

4. Teorema Utama: Kriteria Konvergensi Cauchy & Kelengkapan $R$

Arah Pertama ( $⟹$ ): Konvergen $⟹$ Cauchy

Arah Kedua ( $⟸$ ): Cauchy $⟹$ Konvergen

5. Konsep Kelengkapan: Mengapa $Q$ Tidak Lengkap?