Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Perhatikan $S=\{1/2,2/3,3/4,\dots \}$. Untuk setiap $n\in \mathbb{N}$, $\frac{n}{n+1}<1$, sehingga $1$ adalah batas atas $S$. Berdasarkan Karakterisasi Epsilon Supremum, untuk sebarang $\epsilon >0$, pilih $n>\frac{1}{\epsilon }-1$, maka $1-\epsilon <\frac{n}{n+1}$. Jadi $\sup S=1$. $■$

Jawaban Singkat: $\sqrt{3}$

Pembahasan Lengkap: Dengan ketaksamaan AM-GM, $x_{n+1}\ge \sqrt{3}$ untuk $n\ge 1$. Barisan monoton turun dan terbatas di bawah oleh $\sqrt{3}$. Berdasarkan Teorema Konvergensi Monoton, $(x_n)\to L$. Ambil limit pada rekursi: $L=\frac{1}{2}(L+3/L)⟹L=\sqrt{3}$. $■$

Jawaban Singkat: $\frac{\pi }{4}$

Pembahasan Lengkap: Ubah menjadi Jumlah Riemann: ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+(k/n{)}^2}\cdot \frac{1}{n}$. Berdasarkan Definisi Integral Riemann, limit saat $n\to \infty$ sama dengan ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=[\arctan (x){]}_0^1=\frac{\pi }{4}$. $■$

Jawaban Singkat: Tidak ada nilai $a$ (himpunan kosong $\varnothing$)

Pembahasan Lengkap: Sebagaimana dibuktikan pada Kekontinuan Seragam, $x^2$ tidak kontinu seragam pada $\mathbb{R}$ karena untuk $u_n=n$ dan $v_n=n+1/n$, $|u_n-v_n|\to 0$ tetapi $|f(u_n)-f(v_n)|=2+1/n^2\ge 2$. Konstanta $a$ tidak mempengaruhi hal ini. $■$

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Berdasarkan TDK I, $f^{\prime }(x)=\sqrt{1+x^4}$. Karena $f(0)=0⟹f^{-1}(0)=0$, maka $(f^{-1}{)}^{\prime }(0)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1$. $■$

Jawaban Singkat: $c=1$

Pembahasan Lengkap: Gunakan deret Taylor $e^{cx}=1+cx+\frac{c^2{x}^2}{2}+O(x^3)$. Pembilang menjadi $(c-1)x+\frac{c^2{x}^2}{2}+\dots$. Agar limitnya berhingga saat $x\to 0$, koefisien $x$ harus nol $⟹c=1$. $■$

Jawaban Singkat: $\frac{1}{2}$

Pembahasan Lengkap: Kalikan sekawan: $x_n\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1}\to \frac{1}{2}$ saat $n\to \infty$. $■$

Jawaban Singkat: $6$ titik ($x=0,1,2,3,4,5$)

Pembahasan Lengkap: Untuk $x\in \mathbb{Z}$, $f(x)=0$. Untuk $x\notin \mathbb{Z}$, $f(x)=-1$. Titik diskontinu terjadi di seluruh bilangan bulat pada $[0,5]$, sebanyak $6$ titik. $■$

Jawaban Singkat: $\frac{5}{2}$

Pembahasan Lengkap: Untuk $n\ge 1$, fungsi $g(n)=2^n+2^{-n}$ monoton naik. Nilai terkecil untuk $n\in \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ dicapai pada $n=1$: $g(1)=2+1/2=5/2$. $■$

Jawaban Singkat: $f(x)=0$

Pembahasan Lengkap: Untuk $x>0$, $\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(u)du=0⟹{\int }_0^{x}f(u)du=0$. Diferensialkan terhadap $x$ via TDK I diperoleh $f(x)=0$ untuk seluruh $x\in [0,1]$. $■$

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Perhatikan $1\le n!\le n^n$. Maka $1^{1/n^2}\le (n!{)}^{1/n^2}\le (n^n{)}^{1/n^2}=n^{1/n}$. Karena ${\lim }_{n\to \infty }{n}^{1/n}=1$, berdasarkan Teorema Apit, ${\lim }_{n\to \infty }(n!{)}^{1/n^2}=1$. $■$

Jawaban Singkat: $0$

Pembahasan Lengkap: Karena $f$ kontinu di $0$, $f(0)=\lim f(1/n)=0$. Hitung turunan di $0$: $f^{\prime }(0)={\lim }_{n\to \infty }\frac{f(1/n)-f(0)}{1/n-0}={\lim }_{n\to \infty }\frac{0}{1/n}=0$. $■$

Jawaban Singkat: $\pi$

Pembahasan Lengkap: Integrasi parsial: $\int x\sin xdx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x$. Evaluasi $[-\pi \cos \pi +\sin \pi ]-[0]=\pi (1)=\pi$. $■$

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Deret Taylor $\frac{1}{1+x^2}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}$. Berdasarkan Deret Kuasa, deret geometri ini konvergen untuk $|-x^2|<1⟺|x|<1$, sehingga $R=1$. $■$

Jawaban Singkat: $[1,3)$

Pembahasan Lengkap: Gunakan Uji Rasio: $L=\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1⟹R=1$. Pusat $c=2⟹$ konvergen pada $(1,3)$. Pada $x=1$, deret berganti tanda $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ konvergen. Pada $x=3$, deret harmonik $\sum \frac{1}{n}$ divergen. Jadi intervalnya $[1,3)$. $■$

Jawaban Singkat: $\frac{1}{4}$

Pembahasan Lengkap: Cari $x$ sehingga $f(x)=2⟹x^3+x=2⟹x=1$. Maka $g(2)=1$. Karena $f^{\prime }(x)=3x^2+1⟹f^{\prime }(1)=4$, maka $g^{\prime }(2)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{4}$. $■$

Jawaban Singkat: $\frac{4}{e}$

Pembahasan Lengkap: Misalkan $P_n=\frac{1}{n}{\left({\prod }_{k=1}^n(n+k)\right)}^{1/n}={\left({\prod }_{k=1}^n\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)}^{1/n}$. Hitung $\ln P_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\ln \left(1+\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^1\ln (1+x)dx=[(1+x)\ln (1+x)-x{]}_0^1=2\ln 2-1=\ln (4/e)$. Maka $P_n\to \frac{4}{e}$. $■$

Jawaban Singkat: $0$

Pembahasan Lengkap: Karena $|\sin (1/x)|\le 1$, $|\sin (1/x)\cdot x|\le |x|$. Menggunakan Teorema Apit, saat $x\to 0^{+}$, limitnya adalah $0$. $■$

Jawaban Singkat: $\frac{1}{2}$

Pembahasan Lengkap: Integrasi parsial dengan $u=\frac{1}{1+x}$ dan $dv=n{x}^{n-1}dx⟹v=x^n$: ${\int }_0^1\frac{n{x}^{n-1}}{1+x}dx={\left[\frac{x^n}{1+x}\right]}_0^1+{\int }_0^1\frac{x^n}{(1+x{)}^2}dx=\frac{1}{2}+{\int }_0^1\frac{x^n}{(1+x{)}^2}dx$ Karena $0\le {\int }_0^1\frac{x^n}{(1+x{)}^2}dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$, maka limitnya adalah $\frac{1}{2}$. $■$

Jawaban Singkat: $\infty$ (tidak terbatas di atas)

Pembahasan Lengkap: Pilih $n=1$ dan biarkan $m\to \infty$. Elemen $x_m=m+\frac{4}{m}\to \infty$. Karena himpunan tidak memiliki batas atas di $\mathbb{R}$, $\sup S=\infty$. $■$

Pembahasan Lengkap: Definisikan $y_n=x_n-{\sum }_{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^2}$. Karena deret $\sum \frac{1}{k^2}$ konvergen, tail sum $T_n={\sum }_{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^2}$ konvergen menuju $0$. Perhatikan $y_{n+1}-y_n=x_{n+1}-x_n+\frac{1}{n^2}\ge 0$, sehingga $(y_n)$ monoton naik. Karena $(x_n)$ dan $(T_n)$ terbatas, $(y_n)$ terbatas di atas. Berdasarkan Teorema Konvergensi Monoton, $(y_n)$ konvergen. Karena $x_n=y_n+T_n$, $(x_n)$ konvergen. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Andaikan $f$ tidak konstan. Maka terdapat $a,b\in [0,1]$ dengan $f(a)<f(b)$.
2. Berdasarkan Teorema Kerapatan Irasional, terdapat bilangan irasional $z\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ di antara $f(a)$ dan $f(b)$.
3. Karena $f$ kontinu, berdasarkan Teorema Nilai Antara (IVT), terdapat $c\in (a,b)$ sehingga $f(c)=z\notin \mathbb{Q}$.
4. Kontradiksi dengan hipotesis $f(x)\in \mathbb{Q}$ untuk semua $x$. Jadi $f$ haruslah konstan. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Diberikan $\epsilon >0$. Karena ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=L$, terdapat $K>0$ sehingga $|f(x)-L|<\frac{\epsilon }{4}$ untuk semua $x\ge K$.
2. Maka untuk $x,y\ge K$, $|f(x)-f(y)|\le |f(x)-L|+|f(y)-L|<\frac{\epsilon }{2}$.
3. Pada interval tertutup $[0,K+1]$, $f$ kontinu pada set kompak. Berdasarkan Teorema Kekontinuan Seragam pada Kompak, $f$ kontinu seragam pada $[0,K+1]$, sehingga terdapat ${\delta }_1>0$ di mana $|x-y|<{\delta }_1⟹|f(x)-f(y)|<\epsilon$.
4. Pilih $\delta =\min \{{\delta }_1,1\}$. Maka untuk semua $x,y\in [0,\infty )$ dengan $|x-y|<\delta$, $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. Terbukti $f$ kontinu seragam pada $[0,\infty )$. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Definisikan $g(x)=f(x)-kx$. Maka $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-k$.
2. $g^{\prime }(a)<0⟹g$ menurun di dekat $a$. $g^{\prime }(b)>0⟹g$ meningkat di dekat $b$.
3. Berdasarkan Teorema Nilai Ekstrem, $g$ mencapai minimum pada $[a,b]$ di suatu titik $c\in (a,b)$.
4. Berdasarkan Teorema Fermat, $g^{\prime }(c)=0⟹f^{\prime }(c)=k$. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Ekspansi Taylor $f(x)=e^x$ di sekitar $c=0$ orde $n=2$ (lihat Teorema Taylor): $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+R_2(x)$
2. Suku sisa Lagrange $R_2(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}{x}^3=\frac{e^{\xi }}{6}{x}^3$ untuk suatu $\xi \in (0,x)$.
3. Karena $x>0$ dan $\xi >0$, $e^{\xi }>1>0⟹R_2(x)>0$.
4. Maka $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+R_2(x)>1+x+\frac{x^2}{2}$. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Karena ${\int }_0^{1}f(x)x^{n}dx=0$ untuk setiap $n$, maka ${\int }_0^{1}f(x)P(x)dx=0$ untuk setiap polinomial $P(x)$.
2. Berdasarkan Teorema Aproksimasi Weierstrass, terdapat barisan polinomial $(P_k)$ yang konvergen seragam ke $f$ pada $[0,1]$.
3. Berdasarkan Pertukaran Limit dan Integral: ${\int }_0^1(f(x){)}^{2}dx={\int }_0^{1}f(x)\left({\lim }_{k\to \infty }{P}_k(x)\right)dx={\lim }_{k\to \infty }{\int }_0^{1}f(x)P_k(x)dx=0$
4. Karena $(f(x){)}^2\ge 0$ dan kontinu, ${\int }_0^1(f(x){)}^{2}dx=0⟹f(x)=0$ untuk semua $x\in [0,1]$. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Untuk $x\ne y$, bagi dengan $|x-y|$: $\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le |x-y|$
2. Ambil limit saat $y\to x$: $|f^{\prime }(x)|={\lim }_{y\to x}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\le {\lim }_{y\to x}|x-y|=0$
3. Maka $f^{\prime }(x)=0$ untuk seluruh $x\in \mathbb{R}$.
4. Berdasarkan konsekuensi Teorema Nilai Rataan (MVT), $f$ adalah fungsi konstan. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Untuk setiap $x\in \mathbb{R}$, $\left|\frac{\sin (nx)}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}=M_n$.
2. Karena deret $p=2$ yaitu $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergen, berdasarkan Teorema Uji M-Weierstrass, deret konvergen seragam pada $\mathbb{R}$.
3. Berdasarkan Teorema Pelestarian Kekontinuan, fungsi limit deret tersebut kontinu pada $\mathbb{R}$. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Pilih $g(x)=f(x)$. Karena $f$ kontinu, $g$ kontinu pada $[a,b]$.
2. Hipotesis memberikan ${\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx=0$.
3. Karena $(f(x){)}^2\ge 0$ dan kontinu pada $[a,b]$, haruslah $(f(x){)}^2=0⟹f(x)=0$ untuk seluruh $x\in [a,b]$. $■$

Pembahasan Lengkap:

1. Untuk $0\le x<1$, ${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$.
2. Untuk $x=1$, ${\lim }_{n\to \infty }{1}^n=1$.
3. Fungsi limit titik demi titiknya adalah: $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1\\ 1,& x=1\end{array}$
4. Suku-suku $f_n(x)=x^n$ kontinu pada $[0,1]$, namun $f(x)$ diskontinu di $x=1$ (karena ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=0\ne 1=f(1)$).
5. Hal ini menunjukkan bahwa konvergensi titik demi titik tidak melestarikan kekontinuan (lihat Konvergensi Titik demi Titik). $■$