Kekontinuan Seragam (Uniform Continuity)

Kekontinuan seragam (uniform continuity) merupakan penguatan dari konsep kekontinuan biasa. Pada kekontinuan titik biasa, besarnya nilai $\delta$ bergantung pada $\epsilon$ dan posisi titik $c$. Pada kekontinuan seragam, nilai $\delta$ berlaku secara universal (hanya bergantung pada $\epsilon$) untuk seluruh domain.

1. Definisi Kekontinuan Seragam

2. Kekontinuan Seragam pada Himpunan Kompak

Konsekuensi Penting: Setiap fungsi yang kontinu pada interval tertutup dan terbatas $[a,b]$ dipastikan kontinu seragam pada $[a,b]$.

3. Contoh Uji Perbandingan Domain

Penyelesaian:

1. Pada $[1,\infty )$: Ambil $u,v\in [1,\infty )$. $|f(u)-f(v)|=\left|\frac{1}{u}-\frac{1}{v}\right|=\frac{|v-u|}{uv}$ Karena $u\ge 1$ dan $v\ge 1$, maka $uv\ge 1⟹\frac{1}{uv}\le 1$. Diperoleh $|f(u)-f(v)|\le |u-v|$. Diberikan $\epsilon >0$, pilih $\delta =\epsilon$. Maka terbukti kontinu seragam pada $[1,\infty )$.

2. Pada $(0,1)$: Pilih barisan $u_n=\frac{1}{n}$ dan $v_n=\frac{1}{n+1}$ di $(0,1)$. ${\lim }_{n\to \infty }(u_n-v_n)={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n(n+1)}=0$ Namun $|f(u_n)-f(v_n)|=|n-(n+1)|=1\ge \frac{1}{2}={\epsilon }_0$. Berdasarkan Kriteria Ketidakkontinuan Seragam, $f(x)=\frac{1}{x}$ tidak kontinu seragam pada $(0,1)$. $■$

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

• ← Sub-Topik Sebelumnya: Kekontinuan Fungsi & Teorema Nilai Antara
• Sub-Topik Selanjutnya: Turunan & Teorema Nilai Rataan (MVT) (Bab 4) →