Bentuk Polar, Eksponensial, dan Teorema De Moivre

Pembahasan: Nyatakan $1=e^{i2k\pi }$ untuk $k\in \mathbb{Z}$. Akar-akar ke-$n$: $z_k=e^{i2k\pi /n}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$ untuk $k=0,1,\dots ,n-1$. $■$

Pembahasan:

• Pembilang: $(\cos (-\theta )+i\sin (-\theta ){)}^4=e^{-i4\theta }$.
• Penyebut: $(\cos (\pi /2-\theta )+i\sin (\pi /2-\theta ){)}^5=(i{e}^{-i\theta }{)}^5=i^5{e}^{-i5\theta }=i{e}^{-i5\theta }$. Hasil pecahan: $\frac{e^{-i4\theta }}{i{e}^{-i5\theta }}=\frac{1}{i}{e}^{i\theta }=-i(\cos \theta +i\sin \theta )=\sin \theta -i\cos \theta$. $■$

Pembahasan: Kalikan dengan konjugat penyebut:

$\frac{1+z}{1-z}\cdot \frac{1-\bar{z}}{1-\bar{z}}=\frac{1-\bar{z}+z-z\bar{z}}{|1-z{|}^2}=\frac{1-|z{|}^2+(z-\bar{z})}{|1-z{|}^2}$

Karena $|z|=1⟹1-|z{|}^2=0$. Dan $z-\bar{z}=2i\text{Im}(z)$ murni imajiner. Maka bagian realnya adalah $\text{Re}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=0$. $■$