Teorema Apit dan Konvergensi Barisan Monoton

Teorema limit menyediakan alat aljabar dan struktur geometri (apit & monotonitas) untuk menganalisis konvergensi barisan yang rumit tanpa harus kembali ke definisi $ε - K$ dasar secara berulang.

1. Teorema Aljabar Limit & Teorema Apit

Teorema (Teorema Aljabar Limit)

Misalkan $(x_{n})$ dan $(y_{n})$ konvergen ke $x$ dan $y$ . Maka:

$lim (x_{n} \pm y_{n}) = x \pm y$
$lim (c x_{n}) = c x$ untuk sebarang konstanta $c \in R$
$lim (x_{n} y_{n}) = x y$
$lim (\frac{x _{n}}{y _{n}}) = \frac{x}{y}$ , dengan syarat $y_{n} \neq = 0$ dan $y \neq = 0$

Teorema (Teorema Apit (Squeeze Theorem))

Misalkan $(x_{n}), (y_{n}),$ dan $(z_{n})$ memenuhi $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$ untuk semua $n \geq K$ . Jika $lim x_{n} = lim z_{n} = L$ , maka barisan $(y_{n})$ konvergen dan:

$lim_{n \to \infty} y_{n} = L$

2. Teorema Konvergensi Monoton (MCT)

Definisi (Barisan Monoton)

$(x_{n})$ monoton naik jika $x_{n} \leq x_{n + 1}$ untuk semua $n \in N$ .
$(x_{n})$ monoton turun jika $x_{n} \geq x_{n + 1}$ for semua $n \in N$ .

Teorema (Teorema Konvergensi Monoton (Monotone Convergence Theorem))

Barisan bilangan real $(x_{n})$ yang monoton konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas.

Jika $(x_{n})$ monoton naik dan terbatas di atas, maka $lim x_{n} = sup {x_{n} : n \in N}$ .
Jika $(x_{n})$ monoton turun dan terbatas di bawah, maka $lim x_{n} = in f {x_{n} : n \in N}$ .

3. Contoh Pembuktian Barisan Rekursif

Contoh (Barisan Akar Rekursif)

Misalkan $x_{1} = 1$ dan $x_{n + 1} = 2 + x_{n}$ untuk $n \geq 1$ . Buktikan bahwa $(x_{n})$ konvergen dan tentukan nilai limitnya.

Penyelesaian:

Keterbatasan: Buktikan $x_{n} < 2$ dengan induksi. Untuk $n = 1$ , $x_{1} = 1 < 2$ . Jika $x_{k} < 2$ , maka $x_{k + 1} = 2 + x_{k} < 2 + 2 = 2$ . Terbatas di atas oleh $2$ .
Monotonitas: Perhatikan $x_{n + 1}^{2} - x_{n}^{2} = 2 + x_{n} - x_{n}^{2} = (2 - x_{n}) (1 + x_{n}) > 0$ karena $x_{n} < 2$ . Jadi $x_{n + 1} > x_{n}$ (monoton naik).
Konvergensi: Berdasarkan MCT, $(x_{n})$ konvergen ke $L$ . $L = 2 + L ⟹ L^{2} - L - 2 = 0 ⟹ (L - 2) (L + 1) = 0$ Karena $x_{n} > 0$ , dipastikan $L = 2$ . $■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Konvergensi Barisan Rekursif Turun)

Misalkan $x_{1} = 8$ dan $x_{n + 1} = \frac{1}{2} x_{n} + 2$ untuk $n \in N$ . Buktikan $(x_{n})$ monoton turun, terbatas di bawah oleh $4$ , dan tentukan limitnya.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Keterbatasan Bawah: Induksi $x_{n} \geq 4$ . $x_{1} = 8 \geq 4$ . Jika $x_{k} \geq 4$ , maka $x_{k + 1} = \frac{1}{2} x_{k} + 2 \geq \frac{1}{2} (4) + 2 = 4$ .
Monoton Turun: $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{1}{2} x_{n} + 2 - x_{n} = 2 - \frac{1}{2} x_{n} \leq 2 - \frac{1}{2} (4) = 0 ⟹ x_{n + 1} \leq x_{n}$ .
Limit: Berdasarkan MCT, $(x_{n}) \to L$ . Ambil limit pada rekursi: $L = \frac{1}{2} L + 2 ⟹ \frac{1}{2} L = 2 ⟹ L = 4$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Limit Pengapit Pangkat)

Gunakan Teorema Apit untuk menghitung limit barisan:

$lim_{n \to \infty} (2^{n} + 3^{n})^{1/ n}$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Perhatikan bahwa $3^{n} < 2^{n} + 3^{n} < 3^{n} + 3^{n} = 2 \cdot 3^{n}$ . Pangkatkan seluruh ruas dengan $1/ n > 0$ :

$(3^{n})^{1/ n} < (2^{n} + 3^{n})^{1/ n} < (2 \cdot 3^{n})^{1/ n} ⟹ 3 < (2^{n} + 3^{n})^{1/ n} < 3 \cdot 2^{1/ n}$

Karena $lim_{n \to \infty} 3 = 3$ dan $lim_{n \to \infty} 3 \cdot 2^{1/ n} = 3 \cdot 1 = 3$ , berdasarkan Teorema Apit disimpulkan:

$lim_{n \to \infty} (2^{n} + 3^{n})^{1/ n} = 3 ■$

✏️ Latihan Soal 3 (Perkalian Barisan Nol dan Barisan Terbatas)

Buktikan bahwa jika $lim_{n \to \infty} x_{n} = 0$ dan $(y_{n})$ adalah barisan terbatas (tidak harus konvergen), maka $lim_{n \to \infty} (x_{n} y_{n}) = 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Karena $(y_{n})$ terbatas, terdapat $M > 0$ sehingga $∣ y_{n} ∣ \leq M$ untuk semua $n \in N$ . Diberikan $ε > 0$ . Karena $x_{n} \to 0$ , terdapat $K \in N$ sehingga $∣ x_{n} ∣ < \frac{ε}{M}$ untuk $n \geq K$ . Maka untuk $n \geq K$ :

$∣ x_{n} y_{n} - 0∣ = ∣ x_{n} ∣∣ y_{n} ∣ \leq ∣ x_{n} ∣ M < (\frac{ε}{M}) M = ε$

Terbukti bahwa $lim_{n \to \infty} (x_{n} y_{n}) = 0$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Limit Barisan & Konvergensi
Sub-Topik Selanjutnya: Subbarisan & Teorema Bolzano-Weierstrass →

Teorema Apit dan Konvergensi Barisan Monoton

1. Teorema Aljabar Limit & Teorema Apit

2. Teorema Konvergensi Monoton (MCT)

3. Contoh Pembuktian Barisan Rekursif

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (13 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (14)

Limit Barisan dan Konvergensi

Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Limit Fungsi dan Kriteria Barisan

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2022 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title