Deret Takhingga dan Uji Konvergensi

Deret takhingga merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan bilangan real tak hingga banyaknya. Konvergensi deret didefinisikan melalui limit dari barisan jumlah parsialnya.

1. Definisi Deret Takhingga & Jumlah Parsial

Definisi (Deret Takhingga)

Misalkan $(a_{n})$ adalah barisan bilangan real. Deret takhingga $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ adalah barisan jumlah parsial $(s_{n})_{n = 1}^{\infty}$ di mana:

$s_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$

Jika $lim_{n \to \infty} s_{n} = S \in R$ , maka deret dikatakan konvergen ke $S$ . Jika limit $s_{n}$ tidak ada, deret dikatakan divergen.

Teorema (Syarat Perlu Konvergensi (Uji Suku ke-n))

Jika deret $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ konvergen, maka:

$lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$

Catatan: Kebalikannya tidak selalu benar! Contohnya deret harmonik $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergen meskipun $lim \frac{1}{n} = 0$ .

2. Uji-Uji Konvergensi Utama

Uji Banding Direct: Jika $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ untuk semua $n \geq K$ :
- Jika $\sum b_{n}$ konvergen $⟹ \sum a_{n}$ konvergen.
- Jika $\sum a_{n}$ divergen $⟹ \sum b_{n}$ divergen.
Uji Deret $p$ : Deret $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{p}}$ konvergen jika $p > 1$ dan divergen jika $p \leq 1$ .
Uji Rasio D’Alembert: Misalkan $L = lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ .
- Jika $L < 1 ⟹$ konvergen mutlak.
- Jika $L > 1 ⟹$ divergen.

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Uji Banding Deret Kuadrat 1/(n^2 + 1))

Tentukan konvergensi dari deret takhingga $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} + 1}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Untuk setiap $n \geq 1$ , berlaku $n^{2} + 1 > n^{2} ⟹ \frac{1}{n ^{2} + 1} < \frac{1}{n ^{2}}$ .
Deret $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}}$ adalah deret $p$ dengan $p = 2 > 1$ , sehingga konvergen.
Berdasarkan Uji Banding Direct, disimpulkan deret $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2} + 1}$ konvergen. $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Teorema Dasar Kalkulus (TDK I & II)
Sub-Topik Selanjutnya: Konvergensi Seragam Barisan & Deret Fungsi →

Deret Takhingga dan Uji Konvergensi

1. Definisi Deret Takhingga & Jumlah Parsial

2. Uji-Uji Konvergensi Utama

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (17 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (16)

Konvergensi Seragam Barisan dan Deret Fungsi

Teorema Dasar Kalkulus (TDK I & TDK II)

Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2018 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2019 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan KNMIPA PT 2021 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab

Title