Analisis Real 🌱 Seedling ⏳ Belum direview

Turunan dan Teorema Nilai Rataan (MVT)

Definisi formal turunan di satu titik, keterdiferensialan mengimplikasikan kekontinuan, Teorema Rolle, dan Teorema Nilai Rataan (MVT).

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026

🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Turunan merupakan konsep pusat dalam analisis yang mengukur sensitivitas perubahan nilai fungsi terhadap perubahan inputnya. Secara geometris, turunan menyatakan kemiringan garis singgung kurva di suatu titik.

1. Definisi Turunan & Keterdiferensialan

Definisi (Turunan di Satu Titik)

Misalkan $I \subseteq R$ adalah interval terbuka, $f : I \to R$ , dan $c \in I$ . Fungsi $f$ dikatakan terdiferensialkan (memiliki turunan) di titik $c$ jika limit berikut ada:

$f^{'} (c) = lim_{x \to c} \frac{f ( x ) - f ( c )}{x - c} = lim_{h \to 0} \frac{f ( c + h ) - f ( c )}{h}$

Teorema (Keterdiferensialan Mengimplikasikan Kekontinuan)

Jika $f$ terdiferensialkan di $c$ , maka $f$ pasti kontinu di $c$ .

Catatan: Kebalikannya tidak selalu benar. Contohnya $f (x) = ∣ x ∣$ kontinu di $x = 0$ , namun tidak terdiferensialkan di $x = 0$ .

2. Teorema Rolle & Teorema Nilai Rataan (MVT)

Teorema (Teorema Rolle)

Misalkan $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ . Jika $f (a) = f (b) = 0$ , maka terdapat setidaknya satu titik $c \in (a, b)$ sedemikian sehingga:

$f^{'} (c) = 0$

Teorema (Teorema Nilai Rataan (Mean Value Theorem / MVT))

Misalkan $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ . Maka terdapat setidaknya satu titik $c \in (a, b)$ sedemikian sehingga:

$f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$

3. Contoh Pembuktian Ketaksamaan Trigonometri

Contoh (Ketaksamaan Sinus via MVT)

Buktikan bahwa $∣ sin x - sin y ∣ \leq ∣ x - y ∣$ untuk setiap $x, y \in R$ .

Penyelesaian:

Misalkan $x < y$ dan $f (t) = sin t$ .
Karena $f$ kontinu pada $[x, y]$ dan terdiferensialkan pada $(x, y)$ , berdasarkan MVT terdapat $c \in (x, y)$ sedemikian sehingga: $\frac{s i n y - s i n x}{y - x} = f^{'} (c) = cos c$
Ambil nilai mutlak pada kedua ruas: $\frac{∣ s i n y - s i n x ∣}{∣ y - x ∣} = ∣ cos c ∣ \leq 1 ⟹ ∣ sin y - sin x ∣ \leq ∣ y - x ∣ ■$

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Non-Keterdiferensialan Nilai Mutlak)

Buktikan secara formal menggunakan limit kiri dan kanan bahwa $f (x) = ∣ x ∣$ tidak terdiferensialkan di $x = 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Limit Kanan: $lim_{h \to 0^{+}} \frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = lim_{h \to 0^{+}} \frac{h}{h} = 1$ .
Limit Kiri: $lim_{h \to 0^{-}} \frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = lim_{h \to 0^{-}} \frac{- h}{h} = - 1$ .
Karena limit kiri ( $- 1$ ) $\neq =$ limit kanan ( $1$ ), maka $lim_{h \to 0} \frac{∣ h ∣}{h}$ tidak ada. Disimpulkan $f (x) = ∣ x ∣$ tidak terdiferensialkan di $x = 0$ . $■$

✏️ Latihan Soal 2 (Ketunggalan Akar Polinomial via Teorema Rolle)

Gunakan Teorema Rolle untuk menunjukkan bahwa persamaan $x^{3} + 3 x + K = 0$ memiliki paling banyak satu akar real untuk setiap konstanta $K \in R$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Misalkan $f (x) = x^{3} + 3 x + K$ . Turunannya $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 = 3 (x^{2} + 1) \geq 3 > 0$ untuk semua $x \in R$ .
Andaikan $f (x)$ memiliki dua akar real $a < b$ . Maka $f (a) = f (b) = 0$ .
Berdasarkan Teorema Rolle, harus ada $c \in (a, b)$ sehingga $f^{'} (c) = 0$ .
Hal ini kontradiksi karena $f^{'} (x) \geq 3 > 0$ untuk semua $x$ .
Jadi $f (x) = 0$ memiliki paling banyak satu akar real. $■$

✏️ Latihan Soal 3 (Estimasi Nilai Fungsi via MVT)

Misalkan $f$ terdiferensialkan pada $R$ dan $f^{'} (x) \leq 5$ untuk semua $x$ . Jika $f (0) = 2$ , berapakah nilai maksimum yang mungkin bagi $f (4)$ ?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Terapkan MVT pada interval $[0, 4]$ . Terdapat $c \in (0, 4)$ sehingga: $\frac{f ( 4 ) - f ( 0 )}{4 - 0} = f^{'} (c) ⟹ f (4) - 2 = 4 f^{'} (c)$
Karena $f^{'} (c) \leq 5$ , maka $f (4) = 2 + 4 f^{'} (c) \leq 2 + 4 (5) = 22$ .
Nilai maksimum yang mungkin bagi $f (4)$ adalah $22$ . $■$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Kekontinuan Seragam
Sub-Topik Selanjutnya: Teorema Taylor & Suku Sisa →

🏆 Soal ONMIPA Terkait (39 Soal)

Bank Soal ONMIPA

Berikut adalah daftar soal ONMIPA-PT dari tahun-tahun sebelumnya yang menguji dan menerapkan konsep materi pada halaman ini:

1. Definisi Turunan & Keterdiferensialan

2. Teorema Rolle & Teorema Nilai Rataan (MVT)

3. Contoh Pembuktian Ketaksamaan Trigonometri

Latihan Soal

Navigasi Sub-Topik

🏆 Soal ONMIPA Terkait (39 Soal)

Materi Terkait (Linked References) (21)

Kekontinuan Seragam (Uniform Continuity)

Penerapan Kriteria Barisan dalam Soal ONMIPA

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Limit Fungsi dan Kriteria Barisan

Teorema Taylor dan Suku Sisa

Naskah Soal ONMIPA PT 2006 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2010 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2012 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2013 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2014 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2015 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Real

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2019 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2022 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2023 — Seleksi Wilayah

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2025 — Seleksi Wilayah

Diskusi & Tanya Jawab