Filter & Pencarian Soal ONMIPA PT (2006 – 2026)

Jika $A = \{n \in \mathbb{Z}_{1400} \mid n \not\equiv 3 \pmod{8}, n \not\equiv 4 \pmod{25}, n \not\equiv 5 \pmod{7}\}$, maka $|A| = \dots$

Misalkan $G$ adalah himpunan tak kosong dengan operasi biner asosiatif (ditulis sebagai perkalian) sedemikian sehingga untuk setiap $x, y, z \in G$ berlaku $xy = zxyz$. Buktikan: 1...

Misalkan $A = (a_{ij})$ dan $B = (b_{ij})$ matriks berukuran $2026 \times 2026$ dengan $a_{ij} = \begin{cases} i + j, & i \le j \\ 0, & i > j \end{cases}$ dan $b_{ij} = \begin{case...

Misalkan $A$ suatu matriks berukuran $4 \times 4$ dengan $\text{rank}(A) = 2$. Buktikan bahwa terdapat vektor-vektor kolom $u_1, u_2, w_1, w_2$ di $\mathbb{R}^4$ sehingga $u_1^T u_...

Jika $\alpha = (1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6)(1 \ 2 \ 3)(1 \ 4 \ 5)(1 \ 6 \ 5 \ 4 \ 3 \ 2) \in S_7$, maka $\alpha^{99} = \dots$

Buktikan bahwa $(4n)!$ habis dibagi oleh $2^{3n} 3^n$ untuk setiap bilangan asli $n$.

Banyaknya bilangan 10-digit di mana seluruh digitnya tidak boleh nol dan setiap bilangan yang dibentuk oleh dua angka berdekatan dapat dibagi oleh salah satu dari 13, 17, 23, 37 ad...

Buktikan bahwa $(4n)!$ habis dibagi oleh $2^{3n} 3^n$ untuk setiap bilangan asli $n$.

Banyaknya unsur yang berorde $6$ pada [grup](/notes/struktur-aljabar/grup-dan-sifat-dasar/) $\mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_6$ adalah $\dots$

Tentukan solusi persamaan rekursif $a_{n +2} - a_{n + 1} - 6a_n = 0$ dengan syarat awal $a_0 = 3$ dan $a_1 = 4$.

Jika $z\neq 0$ merupakan bilangan kompleks yang memenuhi $z + \frac{1}{z} = 1$ maka nilai dari $z^{2025} + \frac{1}{z^{2025}}$ adalah $\dots$

Diberikan himpunan $D = \{z\in\mathbb{C}: |z - 1| = |z + 1|\}$. Tentukan semua nilai minimum dari $|z^2 + 1 + 2025z|$ untuk semua $z\in D$ dan cari semua titik yang mencapai minimu...

Nilai dari $\displaystyle\sum_{i = 0}^n 2^i \frac{1}{i + 1} \binom{n}{i}$ adalah $\dots$

Diberikan barisan bilangan real $(a_n)$ dan $(b_n)$ yang masing-masing konvergen ke bilangan real $\alpha$ dan $\beta$. Jika untuk setiap $n\ge 0$ didefinisikan $$S_n = \frac{1}{n ...

Jika $z\in\mathbb{C}$ memenuhi $\tan \frac{1}{2}z = 2i,$ maka bagian imajiner dari $z$ adalah $\dots$

Tentukan semua fungsi entire $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ yang memenuhi $f(z) = f\left(\frac{2025}{z}\right)$ untuk $z\neq 0.$

Jika $A_1,A_2,\dots, A_k$ adalah bilangan real nonnegatif, maka $$\lim_{n\to\infty} (A_1^n + A_2^n +\dots + A_k^n)^{1/n} = \dots$$

Jika fungsi kontinu $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ mempunyai derivatif hingga tingkat $2$ pada $(a,b)$ dengan sifat $f(a) = f(b)$ dan setiap $x\in [a,b]$ berlaku $f''(x) - 2f'(x) + f(x)\le...

Misalkan $J$ matriks berukuran $10\times 10$ dengan semua entrinya adalah $1$. Lebih lanjut juga diberikan matriks identitas $I$ berukuran $10\times 10$. Invers dari matriks $I + 2...

Diberikan [ruang vektor](/notes/aljabar-linear/ruang-vektor-real-dan-kompleks/) $V$ atas lapangan $\mathbb{R}$ dengan [basis](/notes/aljabar-linear/kebebaslinearan-basis-dan-dimens...

Diberikan fungsi $f$ dan $g$ terdiferensial pada $(0,\infty)$. Jika untuk setiap $x\in(0,\infty)$ memenuhi $xf'(x) + g(x) = 0$ dan $xg'(x) + f(x) = 0$ maka $$\{x\in(0,\infty): f(x)...

Suatu unsur di [ring](/notes/struktur-aljabar/definisi-dan-sifat-dasar-ring/) $(R,+,*)$ disebut unsur idempoten apabila $a*a = a$. Ring $R$ disebut *menarik* apabila banyaknya unsu...

Diberikan [ruang vektor](/notes/aljabar-linear/ruang-vektor-real-dan-kompleks/) $P_1(\mathbb{R})=\{ax + b\mid a,b\in \mathbb{R}\}$ dengan [hasil kali dalam](/notes/aljabar-linear/n...

Misalkan $T: \mathbb{R}^7 \to \mathbb{R}^7$ suatu operator linear yang memenuhi $T^5 = T^2$. Buktikan bahwa $$\text{Im}(T^5)\oplus\text{Ker}(T^2) = \mathbb{R}^7.$$

Himpunan $R = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\mid a,b,c\in \mathbb{Z}_{20}\right\}$ membentuk [ring](/notes/struktur-aljabar/definisi-dan-sifat-dasar-ring/) deng...

Diberikan [grup](/notes/struktur-aljabar/grup-dan-sifat-dasar/) hingga $(G,\cdot)$ dengan unsur identitas $e$. Misalkan $a$ suatu unsur yang bukan identitas di $G$ dan bilangan pri...

Suatu bilangan $6$ digit dengan setiap digitnya berbeda disebut bilangan cantik jika semua digitnya diambil dari $1,2,\dots,6$ dan setiap dua digit yang berurutan selisihnya bukan ...

Buktikan bahwa tidak ada persegi panjang dengan luas 20 satuan yang dapat dibentuk dengan menggunakan jenis tetromino pada gambar berikut.

Jika $I$ koleksi interval pada $\mathbb{R}$ dengan $I = \left\{I_n : I_n = \left(1, 1 + \frac{1}{n}\right), n\in\mathbb{N}\right\}$ maka $\displaystyle\bigcup_{I_n\in I} I_n = \dot...

Banyak bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $z^{20} = 1$ dan $z^{24}\in\mathbb{R}$ adalah $\dots$

Untuk setiap bilangan kompleks dengan $|z| = 1,$ tunjukkan bahwa $$1 \le |1 + z| + |1 + 2z| \le 5.$$

Untuk setiap $n\in\mathbb{N}$ didefinisikan fungsi $f_n:[-1,1]\to\mathbb{R}$ dengan $f_n(x) = \cos (n \arccos x)$, $x\in[-1,1]$. Untuk $m = n$, nilai $\displaystyle\int_{-1}^1 \fra...

Jika diketahui fungsi kompleks $f(z) = \overline{z} e^{-|z|^2}$ maka nilai $f'(i)$ adalah $\dots$

Tentukan daerah $D$ di bidang kompleks sehingga untuk setiap $z\in D, \displaystyle\lim_{|z|\to \infty}e^z$ ada.

Diberikan $G$ suatu grup siklis dengan orde $2024$. Banyak elemen dari $G$ yang berorde ganjil adalah $\dots$

Misalkan $P_4$ adalah ruang polinomial dengan koefisien real berderajat paling tinggi $4$. Diberikan pemetaan $T_k:P_4\to P_4$ dengan $$T_k(a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4) =...

Diberikan matriks $$A = \begin{bmatrix} 0 & a & 0 \\ a & b & a \\ 0 & a & 0 \end{bmatrix}$$dengan$a,b\in \mathbb{R}, a\neq 0$. Buktikan bahwa$A$ dapat didiagonalkan.

Jika $a,b,c,d$ merupakan bilangan bulat sehingga $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ mempunyai akar $\sqrt{3} - \sqrt{5}$, maka nilai $a + b + c + d$ adalah $\dots$

Misalkan $e_1,e_2,\dots,e_{10}$ adalah basis baku dari ruang vektor $\mathbb{R}^{10}.$ Tinjau dua himpunan $$U = \{e_1, e_2 + e_3, e_4 + e_5 + e_6, e_7 + e_8 + e_9 + e_{10}\}$$

Diberikan matriks $$A = \begin{bmatrix} 20 & 24 \\ p & q \end{bmatrix}$$dengan$p$dan$q$real. Selidiki apakah terdapat bilangan real$p$dan$q$agar ada$\mathbf{b}\in\mathbb{...

Dalam sebuah kotak terdapat kelereng biru, hijau, merah, kuning, dan abu-abu dengan masing-masing warna terdapat jumlah kelereng yang cukup banyak. Banyak cara mengambil 9 kelereng...

Dalam kejuaraan catur yang diikuti oleh $10$ peserta, setiap peserta bertanding dengan peserta lain tepat satu kali. Peserta yang menang, kalah, dan seri di setiap pertandingan ber...

Jika koefisien $a$ dan $b$ dari persamaan garis lurus $ax + by = 0$ adalah dua bilangan berbeda dari $\{0,1,2,3,6,7\}$, tentukan banyaknya garis lurus berbeda yang dapat dibentuk.

Misalkan fungsi $f,g :[a,b]\to \mathbb{R}$ memiliki turunan ke $n-1$ yang kontinu pada $[a,b]$. Jika untuk suatu $c\in[a,b]$, $f^{(k)}(c) =0$ dan $g^{(k)}(c) = 0$, untuk semua $k =...

Misalkan $n$ adalah bilangan bulat $8$ digit dengan digit pertama adalah $5$. Berapakah peluang untuk mendapatkan $n$ yang memuat tidak lebih dari $5$ digit berbeda?

Banyaknya bilangan asli kurang dari atau sama dengan $2023$ yang memuat digit $0$ adalah $\dots$

Tentukan semua bilangan real $a,b,c$ sehingga matriks $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ a & b & c \end{bmatrix}$$

Diberikan barisan bilangan real $\{x_n\}$ dan $\{y_n\}$. Jika $\displaystyle x_n = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{(2k)!}$ dan $y_n = 1 + x_n$, maka $\displaystyle \lim_{n \to \infty} y...

Diberikan barisan-barisan bilangan real $(x_n)$ dan $(y_n)$, dengan $(x_n)$ konvergen ke $x\in\mathbb{R}$, barisan $(y_n)$ konvergen ke $y\in\mathbb{R}$. Jika barisan $(z_n)$ didef...

Misalkan $l$ garis di $\mathbb{R}^3$ yang merupakan perpotongan antara bidang $x + 2y + 3z = 20$ dan bidang $x - y + z = 23$. Jika garis $l$ memotong bidang-$xy$ di titik $P(a,b,c)...

Misalkan $A$ matriks berukuran $n\times n$ dengan komponen real sedemikian sehingga vektor $Au$ dan $u$ ortogonal untuk setiap $u\in\mathbb{R}^n$. Buktikan bahwa $A^T = -A$.

Diketahui bahwa $G=\{m + n\sqrt2 \mid m,n\in\mathbb{Z}\}$ merupakan grup terhadap operasi penjumlahan dan $H = \{3a + 5b\sqrt2\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ merupakan subgrup dari $G$. K...

Diberikan fungsi kontinu $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ memenuhi $(f(x))^2\leq 4\int_0^x (f(t))^2\, \mathrm{d}t$ untuk setiap $x\in[0,1]$. Buktikan bahwa $3(f(x))^2 + 2f(x) = 0$ untuk seti...

Misalkan $I$ adalah operator identitas pada $\mathbb{R}^3$ dan $T: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ adalah operator linear yang memenuhi $$T\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatr...

Misalkan $\omega\neq 1$ merupakan bilangan kompleks dengan sifat $\omega^7 = 1$. Tentukan semua bilangan bulat positif $n$ sedemikian sehingga $$\sum_{k = 1}^n (1+\omega^k + \omega...

Diketahui $\mathbb{Z}_{23}\times\mathbb{Z}_{24}$ membentuk ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian komponen. Banyaknya ideal di ring $\mathbb{Z}_{23}\times\mathbb{Z}_{24}$ ad...

Berikan suatu contoh homomorfisma grup $\varphi$ yang **injektif** dari grup $(\mathbb{Z}_6,+)$ ke grup $S_5$.

Banyak bilangan kompleks **tak real** $z$ yang memenuhi $|z -20| + |z - 23| = 3$ adalah $\dots$

Buktikan bahwa $$|\tan(x+iy)| \geq \frac{|e^y -e^{-y}|}{e^y + e^{-y}}.$$

Diberikan $22$ daerah segienam (seperti pada gambar). Setiap segienam, kecuali yang terarsir hitam, akan diwarnai tepat satu warna dari tiga pilihan warna: merah, hijau, dan biru s...

Diketahui $R$ merupakan suatu ring dengan identitas perkalian $1$ dan $(x + y)^2 = x^2 +y^2$ untuk setiap $x,y\in R$. Apakah $R$ merupakan ring komutatif? Buktikan jawaban Anda!

Nilai $m$ agar fungsi kompleks $f(z) = \dfrac{z - 2023}{1-3z}$ memetakan lingkaran $|z - 3| = m$ menjadi garis lurus adalah $\dots$

Dalam suatu turnamen terdapat $28$ tim yang akan bertanding. Masing-masing tim bermain satu sama lain hanya sekali. Perolehan poin pada setiap pertandingan adalah $2$ poin bagi pem...

Diketahui fungsi $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ memenuhi $|f(x) - f(y)| \le |x^3 - x^2 y|^2$, untuk setiap $x, y \in \mathbb{R}$. Jika $f(1) = 1$, maka $f(2022) = \dots$

Diberikan fungsi $f : [1, \infty) \to \mathbb{R}$ memenuhi $f(1) = 1$ dan $f'(x) = \frac{x}{x^4 + [f(x)]^4}$ untuk setiap $x \in [1, \infty)$. Buktikan bahwa $\displaystyle\lim_{x ...

Jika $A$ matriks berukuran $2 \times 2$ dengan $\det(A) > 2$ yang memenuhi persamaan $$A^2 = 2A + \begin{pmatrix} 3 & 10 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$$

Tentukan semua pasangan bilangan real $a$ dan $b$ sehingga sistem persamaan linear $$\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ -b & 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z ...

Jika untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, $a_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{n + k}$, maka nilai $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \dots$

Diberikan barisan bilangan real $X = (x_n)$, dengan $x_1 = \sqrt{2}$ dan $x_n = (\sqrt{2})^{x_{n-1}}$ untuk $n > 1$. Buktikan bahwa $X$ konvergen, kemudian tentukan nilai limitnya.

Misalkan $P_1$ adalah ruang polinom dengan koefisien real berderajat paling tinggi 1 yang dilengkapi dengan hasil kali dalam $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(x)g(x) \, \mathrm{d}...

Misal $A = (a_{ij})$ dan $B = (b_{ij})$ matriks berukuran $n \times n$ dengan entri bilangan real. Jika $$\text{tr}(AB) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (a_{ij}^2 + b_{ij}^2...

Misalkan $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{pmatrix}$ dan $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 2 & 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Baris ke...

Diberikan grup $G$ dan $\phi : G \to G$ adalah suatu homomorfisma grup. Buktikan atau sangkal pernyataan berikut: $\phi$ adalah suatu isomorfisma jika dan hanya jika untuk setiap $...

Banyak bilangan kompleks **tak real** $z$ yang memenuhi $z^{20} = 22$ adalah $\dots$

Diberikan bilangan-bilangan kompleks $a$ dan $b$ dengan $|a| = |b| = 1$. Tunjukkan bahwa $$z = (a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$$

Semua $y \in \frac{\mathbb{Z}_8[x]}{\langle x^2 - 1 \rangle}$ sehingga $(7 + 5x)y = 0$ adalah $\dots$

Misalkan $R = \frac{\mathbb{Z}_p[x]}{\langle x^2 - x \rangle}$, dimana $p$ adalah bilangan prima. Tunjukkan bahwa $S = \{(1 - x)a \mid a \in R\}$ isomorfik dengan $\mathbb{Z}_p$.

Jika $z = \sin\left(\frac{\pi}{4} + i\right)$, maka $\sqrt{2}(\text{Re}(z) + \text{Im}(z)) = \dots$ *(tuliskan jawaban dalam bentuk paling sederhana)*

Diberikan fungsi kompleks $$f(z) = \begin{cases} \frac{\bar{z}^3}{z^2}, & \text{jika } z \neq 0 \\ 0, & \text{jika } z = 0 \end{cases}$$

Misalkan $n$ adalah bilangan asli yang terletak di antara 1 dan 2022 yang memuat digit 0. Banyaknya bilangan $n$ yang demikian adalah $\dots$

Misalkan $n$ adalah suatu bilangan 12 digit yang disusun dari 3, 4, 5, 6, atau 7. Jika setiap digit pada $n$ muncul paling sedikit 2 kali dan paling banyak 4 kali, tentukan banyakn...

Sisi-sisi dari petak persegi satuan sebuah papan catur $4 \times 4$ diwarnai merah. Banyaknya sisi satuan (panjangnya 1 satuan) minimal yang harus diwarnai sehingga setiap petak pe...

Diberikan 30 titik dalam koordinat kartesius yakni titik $D_i(i, 1)$ dimana $i \in \{1, 2, \dots, 15\}$ dan titik $D_j(j - 15, 4)$ dimana $j \in \{16, 17, \dots, 30\}$. Tentukan ba...

Diberikan himpunan $A \subset \mathbb{R}$ dengan $B = \left\{\frac{1}{x} \;\middle|\; x \in A\right\}$. Jika $\inf A > 0$, maka $\sup B = \dots$ dan jika $\inf A = 0$, maka $\sup B...

Diberikan barisan bilangan real positif $(x_n)$ dengan $x_{n+1} \le x_n - \frac{1}{2^n}$, $n \in \mathbb{N}$. Buktikan bahwa barisan $(x_n)$ konvergen kemudian tentukan nilai limit...

Misalkan $T$ pemetaan linear dari $\mathbb{R}^{2021}$ ke $\mathbb{R}^3$ sehingga untuk setiap $\mathbf{x}$ di $\mathbb{R}^{2021}$, vektor $T(\mathbf{x})$ di $\mathbb{R}^3$ berbentu...

(a) Misalkan $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ suatu pemetaan yang didefinisikan dengan $$T(x) = \begin{cases} -x, & \text{jika } x = (1,0,0) \\ x, & \text{jika } x \ne (1,0,0) \...

Diberikan barisan bilangan real $(a_n)$ dengan $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k! + 4^{k+1}}{k! \, 4^k}$, maka $\lim_{n \to \infty} a_n = \dots$

Diberikan fungsi kontinu $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Jika setiap himpunan terbuka $G$ diperoleh $f(G)$ terbuka, buktikan bahwa fungsi $f$ monoton.

Banyaknya nilai eigen positif dari matriks $$M = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 \end{b...

Suatu matriks $B$ berukuran $2 \times 2$ dengan komponen real dikatakan *menarik* jika terdapat matriks $A$ berukuran $2 \times 2$ dengan komponen real sehingga $$AB - BA = B^2$$

Misalkan $a$ bilangan asli terkecil yang mengakibatkan $\mathbb{Z}[x] / \langle a, x^2 + 1 \rangle$ merupakan suatu field/lapangan yang mempunyai lebih dari satu unsur. Jika banyak...

Misalkan $S$ himpunan yang memiliki dua operasi biner $\circ$ dan $\star$. Diketahui bahwa masing-masing operasi mempunyai unsur identitas (yang tidak mesti sama) dan untuk setiap ...

Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan real dengan $0

Misalkan $A = \{z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\}$ dan $B = \{z = x + (4 - 2x)i : x \in \mathbb{R}\}$. Jika $C = \{a - b : a \in A, b \in B\}$, maka tentukan $\inf \{|c| : c \in C\}$.

Misalkan $G$ adalah suatu grup berorde 2021. Misalkan juga $x$ dan $y$ merupakan dua unsur di $G$ yang tidak sama dengan identitas dan memiliki orde yang berbeda. Jika $H$ adalah s...

Misalkan $\mathbb{Z}_3[x]$ merupakan gelanggang polinom dengan koefisien-koefisien di $\mathbb{Z}_3$. Diberikan $f(x) \in \mathbb{Z}_3[x]$ dengan $x^{2k} - 1$ membagi $(f(x))^2 - 1...

Fungsi kompleks $f(z) = \frac{1}{z}$ memetakan garis $\text{Re}(z) = \frac{1}{4}$ ke lingkaran dengan jari-jari $\dots$

Diketahui fungsi $f(z)$ analitik pada domain $D$. Jika ada konstanta $c_1, c_2 \in \mathbb{C}$ yang tidak semuanya nol sehingga $c_1 f(z) + c_2 \overline{f(z)} = 0$ untuk setiap $z...

Solusi dari relasi rekuren $x_n = 4x_{n-1} - 3x_{n-2} + 2^n$ ($n \ge 3$) dengan syarat $x_1 = 1$, $x_2 = 11$ adalah $\dots$

Misalkan $N$ adalah suatu bilangan bulat positif, dan $j$ adalah suatu bilangan irrasional. Buktikan bahwa terdapat bilangan rasional $a/b$ dengan $1 \le b \le N$ memenuhi $$\left|...

Kata sandi tanpa perulangan karakter dibentuk dengan menggunakan huruf kapital. Sebuah kata sandi dikatakan *sempurna* bila tidak memuat untaian karakter $XYZ$ maupun $ZYX$. Besarn...

Pengubinan dengan panjang $n \ge 1$ adalah sebuah cara menutupi lantai berukuran $1 \times n$ dengan menggunakan ubin berukuran $1 \times 1$ berwarna merah, putih, hijau, kuning, a...

Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$. Jika $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty x_n

Diberikan fungsi $g :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferensiabel dan terdapat $x_0\in\mathbb{R}$ sehingga $g(x_0) = 0$. Jika $g(x) + g'(x) > 0$ untuk setiap $x\in\mathbb{R}$, buktikan b...

Matriks $A$ adalah matriks ukuran $n\times n$ dengan entri-entri bilangan asli genap dan ganjil yang berbeda satu dengan yang lain. Agar $A$ menjadi matriks nonsingular, maka banya...

Misalkan $V$ adalah ruang hasil kali dalam real dan $\{u_1, u_2,\dots, u_n\}$ adalah basis ortonormal dari $V$. Misalkan pula $\{v_1,v_2,\dots,v_{n - 1}\}\subsetneq\{u_1,u_2,\dots,...

Diberikan fungsi kontinu $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ dan $g :[0,1]\to\mathbb{R}$. Jika $\displaystyle\lim_{x\to \infty} f(x) = A$ dan $\displaystyle \int_0^1 g(x) \, \mathrm{d}x = ...

Himpunan $\Omega$ adalah koleksi fungsi-fungsi $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ yang memenuhi $|f(x) - f(t)| \leq |x - t|^4$ untuk setiap $x,t\in\mathbb{R}$. Buktikan bahwa: (a) Untuk ...

Misalkan matriks $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ dan $I$ adalah matriks identitas $n\times n$. Misalkan pula $B$ adalah matriks $2n\times 2n$ dengan $B = \begin{bmatrix}A + I & A +2 I...

Misalkan $W$ adalah ruang vektor bagian dari ruang vektor $M_n(\mathbb{R})$ yang memenuhi $\text{trace}(AB) = 0$ untuk setiap $A,B\in W$. Tentukanlah bilangan bulat terkecil $k$ se...

Misalkan $R = \mathbb{Z}_5[x] / \langle x^2 - 1\rangle$ merupakan gelanggang kuosien di $\mathbb{Z}_5[x]$. Banyaknya homomorfisme gelanggang yang bijektif dari $R$ ke $R$ adalah $\...

Jika diambil sebarang dua bilangan bulat, buktikan bahwa peluang diperoleh pembangun dari $\mathbb{Z}$ (pasangan bilangan relatif prima) adalah $P = \dfrac{6}{\pi^2}$. *(Petunjuk: ...

Jika $A = \{z\in\mathbb{C} : |z|^6 = 1\}$ dan $B = \{z\in\mathbb{C} : |z|^9 = 1\}$, maka banyaknya anggota $A\cup B$ adalah $\dots$

Diberikan $z_1,z_2,\dots,z_n$ adalah bilangan-bilangan kompleks sehingga $|z_1| = |z_2| = \dots = |z_n| > 0.$ Buktikan bahwa $$\text{Re}\left(\sum_{j = 1}^n\sum_{k = 1}^n \frac{z_j...

Misalkan $(G,\circ)$ adalah grup pemetaan linear bijektif $g : W \to W$ dengan $W = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$. Jika $g$ memetakan sebarang basis dari $W$ menjadi basis dari $...

Misalkan $n$ adalah bilangan bulat yang tidak habis dibagi $2$ dan $5$. Buktikan bahwa terdapat bilangan bulat $q$ yang habis dibagi $n$ dan semua digit penyusun $q$ adalah $1$.

Jika diketahui fungsi $f(z) = f(x + iy) = x^2 + ax + by^2 + i(cx^2 + dxy + y^2)$ analitik di seluruh bidang kompleks, nilai dari $f(i)$ adalah $\dots$

Diberikan bilangan bulat $n\geq 4$. Tuliskan argumentasi kombinatorial untuk memperlihatkan $$\sum_{k = 4}^n k\binom{n - 4}{n - k}\binom{n + 4}{k} = (n + 4)\binom{2n - 1}{n - 1}$$

Jika $H$ adalah grup yang dibangun oleh $\alpha$ dan $\beta$ dengan $\alpha^2 = \beta^{2019} = (\alpha\beta)^2 = 1,$ maka orde dari $H$ adalah $\dots$